[Thgx0312555]

เพิ่มหน้า 1 ข้อ 1 ให้ด้วย
$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}$ (บวกกัน $n$ ตัว)

ฝั่งขวา ใช้เอกลักษณ์
$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots -\dfrac{1}{2n}$
$=\dfrac{1}{1 \cdot 2}+\dfrac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)2n}$
ให้ $S=\dfrac{1}{3 \cdot 4}+\dfrac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)2n}$
จะได้ว่า $S<\dfrac{1}{2 \cdot 3}+\dfrac{1}{4 \cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-2)(2n-1)}$
นำมาบวกกัน $2S<\dfrac{1}{2 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 4}\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)2n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n}<\dfrac{1}{2}$

ดังนั้น $S<\dfrac{1}{4}$, นั่นคือ $\dfrac{1}{2}+S < \dfrac{3}{4}$