อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คuรักlaข
3.จงหาค่าของ $\frac{\sqrt{31+\sqrt{31+\sqrt{31+...}}}}{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}$
|
ให้ $a= \sqrt{31+\sqrt{31+\sqrt{31+...}}}$
$a^2 = 31 + a$
$a^2 -a -31 = 0$
$a = \frac{1}{2} (1-5 \sqrt{5} ), \frac{1}{2} (1+5 \sqrt{5} )$
ให้ $b= \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$
$b^2 = 1 + b$
$b^2 -b -1 = 0$
$b = \frac{1}{2} (1- \sqrt{5} ), \frac{1}{2} (1+ \sqrt{5} )$
$\frac{\sqrt{31+\sqrt{31+\sqrt{31+...}}}}{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}} = \frac{a}{b}$ มีได้ 4 กรณี
กรณ๊ที่ 1
$\frac{a}{b} = \frac{1- 5\sqrt{5}}{1- \sqrt{5}} = \frac{1- 5\sqrt{5}}{1- \sqrt{5}} \times \frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} = 6+\sqrt{5} $
<--ค่านี้ใช้ไม่ได้ เพราะ a และ b เป็นบวกเท่านั้น
กรณ๊ที่ 2
$\frac{a}{b} = \frac{1- 5\sqrt{5}}{1+ \sqrt{5}} = \frac{1- 5\sqrt{5}}{1+ \sqrt{5}} \times \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{1}{2} (3\sqrt{5}-13) $
<--ค่านี้ใช้ไม่ได้ เพราะ a เป็นบวกเท่านั้น
กรณ๊ที่ 3
$\frac{a}{b} = \frac{1 + 5\sqrt{5}}{1- \sqrt{5}} = \frac{1+5\sqrt{5}}{1- \sqrt{5}} \times \frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} = \frac{1}{2}(13 -3\sqrt{5}) $
<--ค่านี้ใช้ไม่ได้ เพราะ b เป็นบวกเท่านั้น
กรณ๊ที่ 4
$\frac{a}{b} = \frac{1 + 5\sqrt{5}}{1+ \sqrt{5}} = \frac{1+5\sqrt{5}}{1+ \sqrt{5}} \times \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = 6+\sqrt{5} $
ตอบ ค่าของ $\frac{\sqrt{31+\sqrt{31+\sqrt{31+...}}}}{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}} = 6+\sqrt{5}$