16. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ ที่ทำให้ $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}}$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{(\frac{a}{b})^n+(\frac{b}{c})^n+(\frac{c}{a})^n=(\frac{b}{a})^n+(\frac{c}{b})^n+(\frac{a}{c})^n}$
17. กำหนดให้ $x_1,x_2,...x_{84}$ เป็นรากของ $x^{84}+7x-6 = 0$ จงหา $\displaystyle{\sum_{k=1}^{84}\frac{x_k}{x_k-1}}$
18. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}$ ที่ทำให้
$\left| a+b+c\right| \leq 3 $
$\left| a-b+c\right| \leq 2 $
$\left| a+b-c\right| \leq 1 $
จงหาค่ามากที่สุดของ $\left| a+2b+3c\right|$
19. กำหนดให้ $P(x) = x^6-x^5-x^3-x^2-x$ และ $Q(x) = x^4-x^3-x^2-1$
$Q(x)$ มี $z_1,z_2,z_3,z_4$ เป็นราก
จงหาค่าของ $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)$
สังเกตว่า $P(x) = x^2Q(x)+Q(x)+x^3+x^2+1$
ดังนั้น $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4) = (z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3)+(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)+4$
เรารู้ว่า $z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^2-2(z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4) = 1^2-2(-1) = 3$
และ $z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^3-3(z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1^2z_4+z_2^2z_1+z_2^2z_3+z_2^2z_4+z_3^2z_1+z_3^2z_2+z_3^2z_4+z_4^2z_1+z_4^2z_2+z_4^2z_3)-6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)$
สังเกต $z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1^2z_4+z_2^2z_1+z_2^2z_3+z_2^2z_4+z_3^2z_1+z_3^2z_2+z_3^2z_4+z_4^2z_1+z_4^2z_2+z_4^2z_3$
$= z_1^2(z_2+z_3+z_4)+z_2^2(z_1+z_3+z_4)+z_3^2(z_1+z_2+z_4)+z_4^2(z_1+z_2+z_3)$
$= z_1^2(1-z_1)+z_2^2(1-z_2)+z_3^2(1-z_3)+z_4^2(1-z_4)$
$= z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2-z_1^3-z_2^3-z_3^3-z_4^3$
ดังนั้นทั้งก้อนด้านบนจะได้
$z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^3-3(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2-z_1^3-z_2^3-z_3^3-z_4^3)-6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)$
$z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = \frac{1}{2}(6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)- (z_1+z_2+z_3+z_4)^3+3(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2))$
$z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = \frac{1}{2}(6(1)-1^3+3(3)) = 7$
ดังนั้น $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4) = 7+3+4 = 14$
20. จงหาค่า $a < b < c$ ทั้งหมด ที่ทำให้
$2^a+2^b+2^c = 33554466$
$2^a(1+2^{b-a}+2^{c-a}) = 16777233\times2$
$a = 1$
$2^{b-1}+2^{c-1} = 16777232$
$2^{b-1}(1+2^{c-b}) = 1048577\times16$
$b = 5$
$2^{c-5} = 1048576$
$c = 25$