vector space ประกอบไปด้วยสองส่วนคือ scalar field กับ vector ถ้ามองสองอย่างนี้ออกก็จะเข้าใจครับ
ในที่นี้ scalar field คือ field $GF(2)$ ซึ่งเป็น Galois field ที่มีสมาชิกสองตัว
ส่วน vector คือสมาชิกของ $\mathcal{P}_m$ ซึ่งเป็น quotient algebra อีกที
สมาชิกใน $\mathcal{P}_m$ จะอยู่ในรูป
$$P(X_1,...,X_m)+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$$
เช่น $X_1+X_2+\cdots+X_m+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$
$X_1+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$
$X_2+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$
จริงๆแล้วไม่มีอะไรพิศดารเลยแค่มองให้เป็นพหุนามสำหรับ $m$ ตัวแปร ที่มี ส.ป.ส แค่ $0,1$
และมี ideal $<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$ พ่วงท้ายอยู่ด้วยครับ
ที่ต้องระวังเวลาใช้งานคือถ้าพหุนามมี combination ของ $X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m$ อยู่ด้วย
ส่วนนี้จะถูกกลืนหายไปในตัว ideal $<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$
เช่น $X_1^2-X_1+X_2+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$
จะเท่ากับ $X_2+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$ ใน $\mathcal{P}_m$ ครับ
