6. จงหาค่าต่ำสุดของ $\left| \sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x}\right| $
จัดรูปข้างในค่า Absolute จะได้
$\displaystyle{\sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x} = \sin{x}+\cos{x}+\frac{2}{\sin{x}+\cos{x}-1}}$ โดยที่ $\sin{x}+\cos{x} \neq -1 \rightarrow x\neq\pi$
ให้ $\alpha = \sin{x}+\cos{x} = \sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4})}$ โดยที่ $-\sqrt{2}\leq\alpha\leq\sqrt{2}$
จะได้
$f(\alpha) = \alpha + \frac{2}{\alpha - 1}$
ใช้ Calculus นิดหน่อย จะได้ว่าในช่วง $\alpha \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ มีค่าวิกฤตสามค่า นั่นก็คือ $-\sqrt{2},\sqrt{2},1-\sqrt{2}$
เมื่อลองแทนดูก็จะได้
$f(\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}+2$
$f(-\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}+2$
$f(1-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}+1$
ค่าต่ำสุดของ $\left| \sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x}\right| $ คือ $2\sqrt{2}-1$
7. ถ้า $\displaystyle{\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{2004}{2005}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}$
8. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{2}{1^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{2^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{3^2})}+... < \pi}$
อันนี้เป็นวิธีที่ผมคิดได้ ไม่รู้ว่ามีใครมีวิธีที่สวยกว่านี้รึเปล่านะครับ
สังเกตว่า $\displaystyle{{\tan^{-1}{(\frac{2}{1^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{2^2})} = \frac{\pi}{2}}}$
ดังนั้น เราต้องการ $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{2}{3^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{4^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{5^2})}+... < \frac{\pi}{2}}$
ค่าในฟังก์ชัน arctan เมื่อเราบวกไปเรื่อย จะพบว่ามันจะถูกไล่เป็นลำดับ ดังนี้ $\displaystyle{\frac{2}{9},\frac{5}{14},\frac{9}{20},\frac{14}{27},\frac{20}{35},...,\frac{\frac{1}{2}(n^2+3n)}{\frac{1}{2}(n^2+ 7n+10)}}$
ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}{\frac{2}{n^2}} = \frac{\pi}{2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\tan^{-1}{(\frac{n^2+3n}{n^2+7n+10})}}$
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}{\frac{2}{n^2}} = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} < \pi}$
9. จงแก้อสมการ $\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} \geq 3$
10. กำหนดให้ $\displaystyle{S = \cos{(\frac{\pi}{2549})}+\cos{(\frac{3\pi}{2549})}+\cos{(\frac{5\pi}{2549})}+...+\cos{(\frac{2547\pi}{2549})}}$ จงหาค่าของ $\log_{\frac{1}{S}}{1024S}$
$\displaystyle{2S\sin{(\frac{\pi}{2549})} = 2\sin{(\frac{\pi}{2549})}(\cos{(\frac{\pi}{2549})}+\cos{(\frac{3\pi}{2549})}+\cos{(\frac{5\pi}{2549})}+...+\cos{(\frac{2547\pi}{ 2549})})}$
$\displaystyle{2S\sin{(\frac{\pi}{2549})} = (\sin{(\frac{2\pi}{2549})}+\sin{(\frac{4\pi}{2549})}+...+\sin{(\frac{2548\pi}{2549})})-(\sin{(\frac{2\pi}{2549})}+\sin{(\frac{4\pi}{2549})}+...+\sin{(\frac{2546\pi}{2549})})}$
$\displaystyle{S = \frac{\sin{(\frac{2548\pi}{2549})}}{2\sin{(\frac{\pi}{2549})}}} = \frac{1}{2}$
$\log_{\frac{1}{S}}{1024S} = \log_2{512} = 9$