[Puriwatt]

ผมขอเฉลยข้อ 1. ก่อนนะครับ --> จากโจทย์ x = $\sqrt{1-\frac{1}{x}}$+$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ---- (1)
มีเงื่อนไขที่เป็นจริงเมื่อเลขในรูทมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และผลบวกตามสมการ(1) มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
สรุปได้ว่า $x \geqslant 1$ และยังพบว่า $\sqrt{x-\frac{1}{x}} \geqslant \sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ด้วย ดังนั้นเราจึงนำ$\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ไปคูณสมการ(1)
จะได้ $x \cdot (\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}})$ = $(x-\frac{1}{x})-(1-\frac{1}{x})$ = x - 1
จัดรูปใหม่จะได้ 1 - $\frac {1}{x}$ = $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ---- (2)
เอาสมการที่ (1) บวกกับ สมการที่ (2) จะได้ x + 1 - $\frac {1}{x} = 2 \cdot \sqrt{x-\frac{1}{x}}$
จัดรูปใหม่ได้เป็น $(x-\frac {1}{x}) - 2 \cdot \sqrt{x-\frac{1}{x}}$ + 1 = 0 หรือ $(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1)^2$ = 0
ได้ $\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ = 1 --> $(x-\frac{1}{x})$ = 1 --> $x^2$ - x - 1 = 0 แก้สมการได้ค่า x = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
และได้ $x^2$ = $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ --> $x^4$ = $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ --> $x^8$ = $\frac{47+21\sqrt{5}}{2}$ --> $x^{16}$ = $\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}$
โจทย์ต้องการหาค่าของ $x^{15}-\frac{610}{x} หรือ \frac {(x^{16}-610)}{x}$ = $\frac {(\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}-610)}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{(987+987\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})}$ = 987 ขอตอบเลยครับ