มาเพิ่มตรงส่วนคำถามแรกให้นะ เอาไว้ประกอบ detail ของสัมมนา
ที่ถามว่า $a^2+b^2=c^3$ แล้วมาเป็นเอกลักษณ์นั้นได้ไง
point ของมันก็เป็นไปตามที่ความเห็นบนบอกนั่นแหละครับ
คือมันพยายามโชว์ว่า solution มีมากมายไม่จำกัด (infinitely many solutions)
ซึ่งข้อสังเกตของความเห็นบนก็เพียงพอที่จะแสดง point นี้
แต่ถ้าหากอยากได้ด้วยว่า $(u,v)=1$ ก็ต้องสร้างเอกลักษณ์ขึ้นมาให้ match กับเงื่อนไขนี้ด้วย
--------------------------------------------------------------
ต่อมาผมจะโชว์ให้เห็นว่าจาก $a^2+b^2=c^3$ เพียวๆมัน build เอกลักษณ์ออกมายังไง
ให้ลองสังเกตจากเลขชี้กำลังดูก่อน คือมันมี 2 กับ 3 ถูกป่าว และมโนคติเบื้องต้นอย่างเป็นรูปธรรม
ของสมการนี้คือ มันต้อง build เอกลักษณ์ของตัวแปรอื่นๆ (เช่น $u,v$) ให้กำลังสองของอะไรสักอย่าง
บวกกันแล้วได้กำลังสามของอีกตัว ถูกไหม แต่เราไม่รู้ว่าไส้ใน $a,b,c$ มันควรมีอะไร และมีตัวแปรกี่ตัว
ถ้าเป็นตัวเดียวก็จะคล้ายๆของคุณ nooonuii
*** เพราะงั้นก็ลองนึกเป็น 2 ตัวแปรดูก่อน
ก็เลยควรเดาไปก่อนเลยว่าเป็น 2 ตัวแปร ต่อมามาลองดูเลขชี้กำลัง มันมี 2 กับ 3 นิพจน์ในการกระจายมันจะเท่ากันได้
มันควรมีเลขชี้กำลังตอนกระจายออกมาแล้วเท่ากัน เพราะงั้นข้างในไส้ของกำลัง 2 ด้านซ้ายควรมี 3
และข้างในไส้กำลัง 3 ด้านขวาควรมี 2 เพื่อที่ว่ามันคูณกระจายออกมาแล้วได้กำลัง 6 ถูกป่าว
จากนั้นก็ใช้ข้อสังเกตนี้นี่แหละ build เอกลักษณ์ (เรามีสูตรกำลังสองกับสามอะไรบ้างนึกดู)
เรามี $(u-v)^3,(u+v)^3$ อยู่นิ และเราต้องการกำลัง 6 ที่สามารถจะดัดได้ง่ายๆถูกไหม
เพราะงั้นก็เลือกเป็น $(u^2-v^2)^3$ มาดู และสังเกตเพิ่มด้วยว่า $(u^2-v^2)^3=-(v^2-u^2)^3$
จะได้เป็น $(u^2-v^2)^3+(v^2-u^2)^3=0$ ที่ต้องใช้แบบนี้เพราะเราต้องการดัดเอกลักษณ์โดยใช้สมมาตรที่บวกกันเป็น 0 ทางฝั่งขวา
เพื่อที่ว่าเราจะสามารถย้ายบางเทอมหรือบวกบางเทอมจากการกระจายฝั่งซ้ายไปฝั่งขวา แล้วได้อะไรซักอย่างกำลังสามพอดี
และหวังว่าค่าที่เหลือจากทางฝั่งซ้ายมันจะ match กับอะไรซักอย่างที่เป็นกำลังสองบวกกัน
กระจายออก $u^6-3u^4v^2+3u^2v^4-v^6+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4-u^6=0$
จากนี้สังเกตว่า จัดให้เป็นกำลังสองสองก้อนบวกกัน ยากกว่า จัดให้เป็นกำลังสามก้อนเดียว
เพราะงั้นเริ่มจากย้ายตัวที่น่าจะเป็นกำลังสามไปทางขวาก่อนคือ $-u^6,-v^6$
แล้วมองให้เป็นกำลังสามให้ได้ บวกเทอมที่เหลือคือ $3u^4v^2+3u^2v^4$ เข้าไป
$u^6-3u^4v^2+3u^2v^4+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4+3u^4v^2+3u^2v^4=u^6+v^6+3u^4v^2+3u^2v^4=(u^2+v^2)^3$ ---(
***)
ทีนี้ฝั่งขวามันจะรวบเป็นกำลังสามได้ตามแผนละ ถูกป่าว เหลือแต่บีบทางฝั่งซ้ายให้หลุดเป็นกำลังสองบวกกันให้ได้
จากนี้ถ้าเรารีบไปตัดทอนผลลัพธ์สุดท้ายของฝั่งซ้าย มันจะเหลือแต่พจน์ที่เป็นค่าบวกซึ่งจัดกำลังสองบวกกันแล้วมองยาก
เลยเหลือเป็นค่าลบไว้ $u^6-3u^4v^2+3u^2v^4+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4+3u^4v^2+3u^2v^4$
ตรงนี้มันจะมองได้ไม่ยากมากให้เป็นกำลังสองสองตัวบวกกันจากการดูเลขชี้กำลังที่โชว์อยู่
เลือกจากที่ obvious สุดก่อน คือ $u^6,v^6$ มันต้องเป็นกำลังสองสองตัวบวกกัน เพราะงั้นต้องมองเป็น $(u^3)^2,(v^3)^2$
แล้วเอาไปโยงกับเอกลักษณ์ที่เรารู้จักกันดี $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ มอง $x,y$ ให้ออกให้ได้
เลือกไปจับกับ $u^6-3u^4v^2$ (ทำไม?...) เพราะมันมองเป็น $(u^3)^2-2(u^3)(3uv^2)+(3uv^2)^2$ ซึ่งเลขชี้กำลังมัน force ให้เป็นกำลังสองได้พอดี
จัดได้เป็น $u^6-3u^4v^2=(u^3)^2-2(u^3)(3uv^2)+(3uv^2)^2+3u^4v^2-9u^2v^4$ แค่บวกเข้าตัดออกธรรมดาๆ
เหลือแค่เชคดูว่าผลลัพธ์สุดท้ายมันตัดทอนกันหมดเหลือแค่กำลังสองของอะไรสักอย่างบวกกันไหม
เวลาเชคเขียนแยกเป็นแบบนี้น่าจะเชคง่ายขึ้นครับ
$u^6-3u^4v^2=(u^3-3uv^2)^2+3u^4v^2-9u^2v^4$
$v^6-3v^4u^2=(v^3-3vu^2)^2+3v^4u^2-9v^2u^4$
จับสองอันบนบวกกันแล้วบวกเทอมอื่นๆที่เหลือจาก (
***) ก็จบแล้ว มันจะตัดกันหมด
เหลือเป็น $(u^3-3uv^2)^2+(v^3-3vu^2)^2=(u^2+v^2)^3$ ก็เท่านั้นเอง ไม่ยากใช่มั้ย
ตรง
*** มันมีเอกลักษ์แบบตัวแปรเดียวอยู่ด้วยคือ $(t^3-3t)^2+(3t^2-1)^2=(t^2+1)^3$ คือแทน $v=1$ นี่แหละ
แต่การสร้างแบบนี้ ผมว่ามองไม่ยากไม่ง่ายไปกว่าการมองแบบสองตัวแปรอีกนะ เพราะมันไม่มีอุปกรณ์ช่วย deduct เท่าไร
ปล. ประเด็นอื่นๆเดี๋ยวมามีเวลามาช่วยให้ครับ
