10. ให้ $z=e^{i\theta}$ เป็นรากของพหุนามดังกล่าว จะได้ว่า $e^{ni\theta}(\sqrt{3}e^{i\theta}-1)=1$
ใส่ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้างจะได้
$|3e^{i\theta}-1|=1$
จัดรูปจะได้ $\cos{\theta}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
ดังนั้น $\cos{2\theta}=2\cos^2{\theta}-1=\dfrac{1}{2}........(*)$
ต่อไปนำสมการ $\sqrt{3}z^{n+1}-z^n-1=0$ มาเทียบส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ เราจะได้ระบบสมการ
$\sqrt{3}\cos{(n+1)\theta}-\cos{n\theta}=1$
$\sqrt{3}\sin{(n+1)\theta}-\sin{n\theta}=0$
กระจาย $\cos{(n+1)\theta}$ กับ $\sin{(n+1)\theta}$ แล้วจัดรูปใหม่จะได้
$\cos{n\theta}-2\sqrt{3}\sin{\theta}\sin{n\theta}=2 .........(1)$
$\sin{n\theta}+2\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{n\theta}=0.........(2)$
$\cos{n\theta}\times (1) + \sin{n\theta}\times(2)$ จะได้
$\cos{n\theta}=\dfrac{1}{2}$
ดังนั้น $\cos{n\theta}=\cos{2\theta}$ จาก $(*)$
เราจึงได้ $n\theta = \pm 2\theta + 2k\pi $ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
แต่จาก $(*)$ เราได้ $\theta = \pm\dfrac{\pi}{6}$
ดังนั้น $n = \pm 2 + 12k $
เราต้องการจำนวนนับ ดังนั้น $n=2,10,14,22,....$
จากการตรวจสอบพบว่า $n=2$ ใช้ไม่ได้ แต่ $n=10$ ใช้ได้
เพราะฉะนั้้น $n=10$ เป็นค่าน้อยที่สุด
ป.ล. ขอบคุณคุณ passer-by สำหรับข้อ 8 ครับ แก้แล้วเรียบร้อย
