จากรูป ถ้าให้ z = ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม และ r = รัศมีวงกลม
จะได้ว่า $z = 2r(tan\theta +tan\phi -tan(\theta +\phi )) $ โดยที่ $0<\theta ,\phi <\pi /2$
จากนั้นหา $ \theta , \phi$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุดโดยใช้แคลคูลัส (ถ้าไม่มีคนสงสัยก็ขอละไว้นะคะเราขี้เกียจพิมพ์)
ก็จะได้ $\theta = \pi/3 $ และ $\phi = \pi/3$ จึงจะทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุด
ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปน้อยที่สุดที่มีวงกลมแนบในอยู่ต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
ปล. เป็นวิธีพิสูจน์เท่าที่เรานึกออกอ่ะค่ะ บางทีอาจมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ได้
__________________
Who owns the throne?
|