อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ในตำนาน(อนาคตนะ)
มีจำนวนเต็ม x,y ที่ต่างกันกี่คู่ที่อยู่ระหว่าง 1 และ 100 ที่ 49 ไปหาร $x^2+y^2$ ลงตัว
ถ้า (x,y) กับ (y,x) ถือว่าเป็นคู่เดียวกัน
|
ให้ $x=7k_1+m$ และ $y=7k_2+n$
โดยที่ $\left\{\,\right. m,n\left.\,\right\} \subset \left\{\,\right. 0,1,2,3,4,5,6\left.\,\right\} $
และ
$\left\{\,\right. k_1,k_2\left.\,\right\} \in \mathbf{Z^+}\cup\left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $
$$49\left|\,\right. (x^2+y^2)$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. ((7k_1+m)^2+(7k_2+n)^2)$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. [49(k_1^2+k_2^2)+14(k_1+k_2)+(m^2+n^2)]$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. [14(k_1+k_2)+(m^2+n^2)]$$
เนื่องจาก $7\left|\,\right. 49$ และ $7\left|\,\right. 14(k_1+k_2)$
ดังนั้น $7\left|\,\right. (m^2+n^2)$
เนื่องจาก $\left\{\,\right. m,n\left.\,\right\} \subset \left\{\,\right. 0,1,2,3,4,5,6\left.\,\right\} $
จึงมีเพียง $(0,0)$ ที่สอดคล้อง [สามารถหาได้โดยมองความสัมพันธ์ของหลักหน่วย หรือ การแทนค่า(ซึ่งไม่เยอะ)]
จะได้ว่า
$$ 49\left|\,\right. 14(k_1+k_2)$$
$$ 7\left|\,\right. 2(k_1+k_2)$$
ดังนั้น $7\left|\,\right. k_1+k_2...(1)$
แทน $x=7k_1$ และ $y=7k_2$ ลงใน $x^2+y^2$ ;
$$ 49\left|\,\right. 7(k_1^2+k_2^2)$$
$$ 7\left|\,\right. k_1^2+k_2^2$$
แต่ $k_1^2+k_2^2=(k_1+k_2)^2-2k_1k_2$
$ 7\left|\,\right. (k_1+k_2)^2-2k_1k_2$ แต่จาก (1) จะได้ว่า
ดังนั้น $7\left|\,\right. 2k_1k_2$ หรือ $7\left|\,\right. k_1k_2...(2)$
สังเกตว่า $1\leqslant x,y \leqslant 100$
$1\leqslant 7k_1 \leqslant 100$ และ $1\leqslant 7k_2 \leqslant 100$
$1\leqslant k_1\leqslant 14$ และ $1\leqslant k_2\leqslant 14$
เนื่องจาก 7 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจะได้คู่อันดับ $(k_1,k_2)$ คือ
$(7,i),(i,7),(14,i),(i,14)$ ;$1\leqslant i\leqslant 14 ,i\in \mathbf{Z} $
ดังนั้น มีคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมด $14(4)=56$ คู่อันดับ
แต่ (7,i) กับ (i,7) และ (14,i) กับ (i,14) ถือเป็นคู่เดียวกัน
เหลือเพียง 28 คู่อันดับ
แต่เรานับ (7,14) กับ (14,7) ซ้ำ จึงต้องหักออก
ดังนั้น จึงมีคู่อันดับ (x,y) เท่ากับ 26 คู่อันดับที่สอดคล้อง