[ทิดมี สึกใหม่]

Team 10
Arie, Bert and Caroline are given the positive integers a, b and c respectively.
Each knows only his or her own number. They are told that $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 , and are
asked the following two questions:
(a) Do you know the value of a+b+c ?
(b) Do you know the values of a, b and c?
Arie answers “No” to both questions. Upon hearing that, Bert answers “Yes” to
the first question and “No” to the second. Caroline has heard everything so far.
How does she answer these two questions?

Solution หลักการ (ก) หา set ของ (a,b,c,a+b+c) ทั้งหมด (ข) หาค่าของ (a,b,c,a+b+c) ที่สัมพันธ์กับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด

หา set ของ (a,b,c,a+b+c)
(1) กรณี a = 1 จะได้ $\frac{1}{1} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 0 (ขัดแย้งโจทย์กำหนด a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก)

(2) กรณี a = 2 จะได้ $\frac{1}{2} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{1}{2}$ และ ทำให้ $b=\frac{2c}{c-2}$
แสดงว่า $ c > 2 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(6,3),(4,4),(3,6)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(2,6,3,11),(2,4,4,10),(2,3,6,11)]


(3) กรณี a = 3 จะได้ $\frac{1}{3} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{2}{3}$ และ ทำให้ $b=\frac{3c}{2c-3}$
แสดงว่า $ c > 1.5 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(6,2),(3,3),(2,6)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(3,6,2,11),(3,3,3,9),(3,2,6,11)]


(4) กรณี a = 4 จะได้ $\frac{1}{4} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{3}{4}$ และ ทำให้ $b=\frac{4c}{3c-4}$
แสดงว่า $ c > 1.33 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(4,2),(2,4)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(4,4,2,10),(4,2,4,10)]


(5) กรณี a = 5 จะได้ $\frac{1}{5} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{4}{5}$ และ ทำให้ $b=\frac{5c}{4c-5}$
แสดงว่า $ c > 1.25 $ ทำให้ b,c ไม่เป็นจำนวนเต็ม

(6) กรณี a = 6 จะได้ $\frac{1}{6} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{5}{6}$ และ ทำให้ $b=\frac{6c}{5c-6}$
แสดงว่า $ c > 1.20 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(3,2),(2,3)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(6,3,2,11),(6,2,3,11)]

(6) กรณี a > 6 ทำให้ b,c ไม่เป็นจำนวนเต็ม

หาค่าของ (a,b,c,a+b+c) ที่สัมพันธ์กับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด
ให้ Arie =a , Bert =b , Caroline = c
set ของ (a,b,c,a+b+c) =[(2,6,3,11),(2,4,4,10),(2,3,6,11),(3,6,2,11),(3,3,3,9),(3,2,6,11),(4,4,2,10),(4,2,4,10),(6,3,2,11),(6,2,3,11)] .......(1)

หลังจาก Arie ตอบ
a+b+c = ไม่รู้ ให้หาความสัมพันธ์ (a,a+b+c)=[(2,11),(2,10),(3,9),(3,11),(4,10),(6,11)]
แสดงว่าเลขของ Arie ไม่ใช่ 4 และ 6 {มีคำตอบเดียว}

==>> set ของ (a,b,c,a+b+c) เหลือพิจารณา =[(2,6,3,11),(2,4,4,10),(2,3,6,11),(3,6,2,11),(3,3,3,9),(3,2,6,11)] ........(2)
ค่า a,b,c = ไม่รู้

หลังจาก Bert ตอบ
a+b+c = รู้ แสดงว่า a+b+c = 10 หรือ 9 เท่านั้น
==>> set ของ (a,b,c,a+b+c) เหลือพิจารณา =[(2,4,4,10),(3,3,3,9)] ........(3)
[/color][/i] ค่า a,b,c = ไม่รู้
เหตุผลที่บอกไม่รู้ เพราะไม่แน่ใจว่า Arie = 2 หรือ 4 {(2,4,4,10) หรือ (4,4,2,10)}

หลังจากได้ยินทั้งสองคนตอบแล้ว
จาก (3)
ถ้า Caroline=3 ค่า a+b+c=9 ค่าเดียว
ถ้า Caroline=4 ค่า a+b+c=10 ค่าเดียว

Caroline ต้องตอบ รู้ ค่า a+b+c
ถ้า Caroline=3 ค่า (a,b)=(2,4) ค่าเดียว
ถ้า Caroline=4 ค่า (a,b)=(3,3) ค่าเดียว
Caroline ต้องตอบ รู้ ค่า a,b ,c