ข้อนี้ ไม่รู้ว่าพี่ค่อนข้างจะเซ่อกว่าที่น้องแนะมาใน ข้อ 2. ว่าจัดได้ง่าย ๆ แล้วตอบเลยรึเปล่า
ตอบ 4pi / 3 (ตัวเลขที่แทนอาจคำนวณผิดได้ แต่วิธีการคิดว่าไม่ผิด)
ลองมาดูวิธีที่พี่คิดนะครับ.
หลักการข้อนี้ คือ ใช้ by part ล้วน ๆ
แต่ที่นี้วิธีการ by part ที่ว่า คือ integrate( u dv ) = uv - integrate( v du ) นั้น
เราต้องทำการอินทิเกรต 2 อย่างที่ว่าต่อไปนี้ให้แม่นยำก่อน คือ
1. integrate(cos3x) = (1/3) sin3x + C เป็นต้น
2. integrate (x sinx) dx = sinx - x cosx + C ( โดย by part เลือก u = x และ dv = x sinx dx ) เป็นต้น
จะได้ตามโจทย์ว่า (x sinx)/(1 + (cosx)^2) dx
เลือก u = 1 + (cos x )^2 และ dv = x sinx dx
จะได้ว่ามันคือ [1+ (cos x )^2 ] [ sin x - x cosx ] - integrate[ 2 (sin x - x cos x)sin x cos x dx ] ...(1)
พิจารณาตัวหลัง คือ integrate[ 2 (sin x - x cos x)sin x cos x dx ]
กระจายออกมาเป็น 2 พจน์ คือ
พจน์ที่ 1 . integrate [ 2 (sin x) ^2 cos x dx ]
พจน์ที่ 2. integrate [ 2 x sin x (cos x)^2 dx ]
พนจ์ที่ 1 จะได้ผลลัพธ์ คือ (1/2) [ sin x - (1/3) sin 3x ] ....(2)
พจน์ที่ 2. by part โดยเลือก u = 2x และ dv = sin x (cos x )^2 dx
จะได้ผลลัพธ์ คือ (-x/2)[cos x + (1/3) cos 3x ] - (1/2) [ sin x + (1/9) sin 3x ] ....(3)
สุดท้ายแทนค่าต่าง ๆ จาก (2) และ (3) ลงไปใน (1) จะได้ ที่ต้องการ
แล้วแทนค่า x = 0 ถึง pi
ซึ่งจะได้เป็น 4pi/3 - 0 = 4pi / 3
note. ในแต่ละขั้นอาจต้องทำการ integrate โดย bypart อีกที โดยเฉพาะพวกที่มี x คูณอยู่
ให้เลือก u = x หรือ 2x เป็นต้น เสมอ.
โจทย์ข้อนี้ตามความคิดของพี่ ผู้ที่เริ่มศึกษายังไม่ควรจะทำนะ
เพราะอาจปวดหัวมากไปหน่อย. แต่อย่างที่น้องแนะมาในข้อ 2.
อาจมีวิธีที่ฉลาดกว่านี้ 10 เท่า ก็ได้ครับ.
|