เราอาจมองว่า \[\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{n^n}\]
ต่อไปเราสามารถแสดงได้ว่า
\[\frac{1}{n^n} \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\]
โดยอสมการ AM-GM
\[\sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n}{n}} \leq \frac{1}{n}\left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n}\right)\]
ใช้สูตรผลรวมกับฝั่งขวา
\[ \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} \leq \frac{n(n+1)}{2n^2}\]
ยกกำลัง n ทั้งสองข้างจะได้ว่า
\[ \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\]
เนื่องจาก ${\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^n} = 0 = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}$ ดังนั้น $ {\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{n^n}=0 }$