ขออนุญาตเทกระจาดโจทย์ที่ส่งมาในรอบนี้ให้หมดก่อนนะครับ แล้วจะขอรับโจทย์ใหม่หมดอีกทีรอบหน้าครับ
Dektep
1. (Phan Thanh Viet) Let $a,b,c$ be three positive real numbers.Prove that
$$\sum_{cyclic}\frac{a^4}{a^2+ab+b^2} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$$
RoSe-JoKer
2. (Vasile Cirtoaje - WSP) Let a,b,c>0$ and $a+b+c=3 $
พิสูจน์ว่า $$abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$$
3. (Vasile Cirtoaje - WSP) Let $a,b,c>0 $ and $abc=1$
พิสูจน์ว่า $$\frac{2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$$
nooonuii
4. (ดัดแปลงจาก TMO2009 Shortlist) ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า $$m^{m^{m^m}}+n^{n^{n^n}}\geq m^{n^{n^n}}+n^{m^{m^m}}$$
5. (nooonuii) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
$~~~~~\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}=0$
$~~~~~\sin{2x}+\sin{2y}+\sin{2z}=0$
$~~~~~\sin{3x}+\sin{3y}+\sin{3z}=0$
จงพิสูจน์ว่า $\sin{nx}+\sin{ny}+\sin{nz}=0$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$
Anonymous314
6. Let $x,y,z\in \mathbb{R}^+_0$ such that $xy+yz+zx=1$. Prove that $$\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{z+x}}\ge 2+\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
7. For $n\in\mathbb{N}$, prove that $2^n$ can begin with any sequence of digits.
Hint: $\log 2$ is irrational number.
8. Find the locus of points $P$ in the plane of a square $ABCD$ such that $$\max\{ PA,\ PC=\frac12(PB+PD)\}.$$
9. Let $f(x)=\sin x$ and $g(x)=\cos x$, for $k\in\mathbb{Z}^+$. Find $\max\{k\}$ such that $$\underbrace{f(f(\dots f(f(x))))}_k=\underbrace{g(g(\dots g(g(x))))}_k.$$
10. Prove that for each $k$ points in the plane, no three collinear and having integral distances from each other. If we have an infinite set of points with integral distances from each other, then all points are colinear.
คusักคณิm
1. มีจำนวนคี่ 5 จำนวนเรียงกัน ถ้าจำนวนคี่ที่หนึ่งรวมกับจำนวนคี่ที่ห้าได้ 74 ถามว่าผลบวก ของจำนวนคี่ทั้งห้าจำนวนเป็นเท่าใด?
2. (สมาคมคณิตศาสตร์ 2543) ถ้าต้องการสร้างกล่องกระดาษทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่สูง 20 ซม.มีเส้นรอบรูปของฐานกล่องยาว 52 ซม. เราสามารถสร้างกล่องให้มีความจุได้มากที่สุดเท่าไร โดยให้ความยาวของด้านเป็นจำนวนเต็มซม.
3. ปู่มีตัวเลขอยู่ 5 ตัว คือ 1 2 3 4 5 ปู่ได้นำมาเขียนเป็นจำนวนหมื่นดยไม่ใช้ตัวเลขซ้ำกันเลย อยากทราบว่าปู่เขียนจำนวนได้กี่จำนวน
4. (เพชรยอดมงกุฏ) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งถูกแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดเท่ากันสามรูป โดยสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูปมีเส้นรอบรูปยาว 16 เมตร รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้มีพื้นที่กี่ตารางเมตร
Scylla_Shadow
5. (Scylla_Shadow) เด็ก 25 คนกำลังวิ่งเล่นอยู่นอกบ้าทนหลังหนึ่งซึ่งมีประตู 52 บานอยู่รอบบ้าน พอประตูทั้งหมดเปิดเด็กทั้งหมด
ก็เข้าๆออกๆบ้านไปเล่น ถ้านับจำนวนครั้งที่เด็กเข้าและออกบ้านได้ 2552 ครั้ง แต่ไม่รู้ว่าแต่ล่ะคนเข้าและออกกี่ครั้ง
แล้วปิดประตูทั้งหมด
1. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่นอกบ้านและ ไม่มีเด็กอยู่ในบ้าน
2. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่ในบ้าน และไม่มีเด็กอยู่นอกบ้าน
Platootod
6. (2006 Wenzhou Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition - Individual Contest)
คอลลีนใช้เครื่องคิดเลขคำนวณ(a+b)/c ซึ่ง a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวก.
เธอกด a, +, b, /, c และ = ตามลำดับ และได้รับคำตอบ 11.
เมื่อเธอกด b, +, a, /, c และ = ตามลำดับ,
เธอต้องประหลาดใจที่ได้รับคำตอบที่แตกต่างออกไปคือได้คำตอบ14.
และแล้วเธอตระหนักได้ว่าเครื่องคิดเลขต้องคำนวณ หาร ก่อน บวก
ดังนั้น เธอจึงกด (, a, +, b, ), /, c และ = ตามลำดับ.
สุดท้ายเธอจึงได้คำตอบที่ถูกต้อง คำตอบที่ถูกต้องคือเท่าใด?
[SIL]
7. กำหนดลำดับ 1,1,1,3,3,3,5,6,7,a,b,c,9,15,21,11,21,31,...
จงหาค่าของ a-2b+c
8. ในการก้าวเดินขึ้นบันได หากทำได้3แบบคือ ก้าวทีละ1 ขั้น ก้าวทีละ 2 ขั้น ก้าวทีละ 3 ขั้น จะบอกได้ว่าหากมีบันได 3 ขั้น จะมีวิธีขึ้นบันไดได้ 4 แบบ คือ ก้าวทีเดียว 3 ขั้น ก้าว 1 และ 2 ก้าว 2 และ1 และก้าว 1 3 ครั้ง
หากมีบันได 10 ขั้นแล้ว จะมีวิธีขึ้นบันไดกี่วิธี
nooonuii
9. จงหาค่าของ $$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$$
mercedesbenz
1. (สมาคมคณิตศาสตร์) จากรูป $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ $AE=EC$ และ $DC=2BD$ จงหาอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $EFDC$ ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม $BFD$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
2. $ABCDEFGH$ เป็นกล่องทรงลูกบาศก์ ขนาด $9 \times 9 \times 9$ ลูกบาศก์หน่วย
"]
จุด $X$ อยู่บนด้าน $AB$ ทำให้ $AX:AB=1:3$
จุด $Y$ อยู่บนด้าน $GH$ ทำให้ $GY:GH=1:3$
และ จุด $Z$ อยู่บนด้าน $DE$ ทำให้ $DZ : DE=1:3$
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$ คือเท่าใด
Scylla_Shadow
3. (Scylla_Shadow) กำหนด N เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เกิน 2552 หลักซึ่งทุกหลักของ N ประกอบด้วยเลขโดด 2 หรือ 5 เท่านั้น
ให้ S แทนผลบวกของ N ทุกจำนวน แล้ว 25 หาร S เหลือเศษเท่าใด
Platootod
4. จงแสดงว่า $$\frac{4^{5555}+10^{5555}+5^{5555}-2^{5555}-7^{5555}-1}{3}$$ เป็นจำนวนเต็ม
[SIL]
5. จงหาค่าของ $\frac{-xy}{z}$ จากสมการ $$(5x^2+15x+25)(6y^2+8y+4)(5z^2+2z+2) = 33$$
6. กำหนดให้ $x > 0$ จงหาคำตอบของระบบสมการ
$$4(\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{\sqrt{x^2+1}})(\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}) = 12-\frac{x}{1+x^2}$$
7. จงหาค่าของ $cos72^\circ + tan75^\circ$ โดยไม่ใช้สูตรผลรวมมุมหรือผลต่างมุม
8. จากภาพ วงกลมมีจุดศูนย์กลางร่วมกันสองวง ตัวเลขแสดงความยาวส่วนของเส้นตรง
แล้ว x+y+z มีค่าเท่าใด
Mathophile
9. รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีคุณสมบัติว่า
ถ้าความกว้างเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 75% ถ้าความยาวเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 50% แต่ถ้าความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 25%
จงหาพื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้
nooonuii
1. จงแสดงว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ $n$
2. (nooonuii) จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$$
3. (nooonuii) จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $$\sin{A},\sin{2A},...,\sin{nA}$$ เป็นลำดับเลขคณิต สำหรับบางจำนวนจริง $A\in (0,\pi)$
Ne[S]zA
4. กำหนดให้ $S_n=\sum_{n=1}^{2553} (-1)^{n+1} n^2$ โดย $\dfrac{S_n}{1777}=L$ และ $Z_k=\sum_{k=1}^{L} (-1)^{k+1} \ln (\frac{k+3}{k+1}) = \ln (\frac{a}{b})$
และ $f(r)=\dfrac{2009^{2-r}}{2009^{1-r}+2009^r}$ โดย $a,b,L \in I^+$ ถ้า $h=\sum_{x=1}^{b-1} f(\frac{x}{b})$ และ $\frac{2h}{b-1}=d$ โดยที่ $h,b,d \in I^+$
จงค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $\sin^{d+1991}\theta+\cos^{d+1991}\theta$ บนช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$
[SIL]
5. กำหนดลำดับ 1,3,5,3,5,7,5,7,9,... จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 696 พจน์แรกของลำดับนี้
Mathophile
6. กำหนดให้ $A$ เป็นเซตที่เล็กที่สุดที่ซึ่ง $\{\{1,2\},\{3\}\}\in A\cap P(A)$ และ $\{\{1,\{2\},\{3\}\}\}\subset A\cap P(A)$
จงหาจำนวนคู่อันดับ $(a,b)$ โดยที่ $a,b\in A$ และ $a\not= b$ และมีคุณสมบัติว่า $a\in b$ หรือ $a\subset b$
7. กำหนดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC และจุด D, E, F บนส่วนของเส้นตรง BC, AB และ AD ตามลำดับ
โดยที่ $CD = \frac{1}{3}BC$ , $BE = \frac{1}{3}AE$ และ $AF = \frac{1}{3}AD$
จงหาความยาวด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยม DEF ในเทอมของ AB
Mathophile
8. กำหนดให้ $A$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $2\times 2$ โดยที่ $A^3=A^2+A+2I$
จงหาค่าของ $\det A$
robot123
9. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก
โดยที่ $x$ สอดคล้องกับอสมการ
$$ x = 6-\frac{9}{6-\frac{9}{6-\frac{9}{6-\frac{9}{x}}}} $$
และ $y$ สอดคล้องกับสมการ
$$\left|\,\left|\,y-4\right|+3 \right|-6 = 0 $$
จงหาค่าของรากที่สองของ $x+y$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้