[banker]

ที่ผมทำนะครับ

มัธยม

2. (4 คะแนน) มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของของ (1)(2009)+(2)(2010)+(3)(2011)+:::+(543)(2551)
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

ให้ 2009 = A

$(1)(2009)+(2)(2010)+(3)(2011)+\dots+(543)(2551)$

= $(1)(A)+(2)(A+1)+(3)(A+2)+\dots+(543)(A+542)$

= $(1A)+(2A+2)+(3A+6)+\dots+(543A+542\cdot 543)$

=$ (1A+2A+3A+\dots+543A) + (1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+542\cdot 543)$

= $A(1+2+3+4+....+543) + \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

= $2009(\dfrac{(543)(543+1)}{2}) + \dfrac{542(542+1)(542+2)}{3}$

=$181\cdot 272\cdot 7111$

= $2^4\cdot 13\times 17\times 181\times 547$


ดังนั้นมีตัวประกอบ $(4+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 2\times 2\times 2\times 2 = 80 $ จำนวน


หมายเหตุ จงแสดงว่า $1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} ; n \in N$

บทพิสูจน์

ให้ p(n) แทนข้อความ
$1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(1) การแสดงว่า p(1) เป็นจริง

$\because 1\cdot 2 = 2 = \frac{1(1+1)(1+2)}{3} $

$\therefore p(1) $เป็นจริง

(2) การแสดงว่า p(k) เป็นจริง

$\therefore 1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+k\cdot (k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

$\because 1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+k\cdot (k+1)+(k+1)(k+2) $

$ = \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) $

$= (k+1) (k+2)[\dfrac{k}{3}+1] $

=$\dfrac{(k+1)(k+2)(k+2)}{3}$

$\therefore p(k+1) $เป็นจริง

สรุปโดยหลักอุปมัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า p(n) เป็นจริงทุกค่า n

เพราะฉะนั้น $1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} ; n \in N$