อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554
Equivalent expressions
If X is a domain of x and P(x) is a predicate dependent on x, then the universal proposition is expressed in Boolean algebra terms as
$\forall x\in X, P(x) \equiv \{x\in X\} \rightarrow P(x) \equiv \{x\notin X\} \vee P(x)$,
which equivalently reads "if x is in X, then P(x) is true." If x is not in X, then P(x) is indeterminate. Note that the truth of the expression requires only that x be in X, so it can be any x in X, independent of P(x), whereas the falsity of the expression, or the truth of
$\{x\in X\} \wedge \neg P(x)$,
additionally requires that x be such that P(x) evaluates to false; this is the reason behind calling x a "bound variable." This last expression can thus be read as "for some x in X, P(x) is false," or "there exists an x in X such that P(x) is false." So, we now have the equivalent Boolean expression for the existential proposition:
$\exists x\in X : P(x) \equiv \{x\in X\} \wedge P(x)$.
See also: Quantification
|
เนื่องจากผมเองเขียนอธิบายไปแล้วนะครับ ว่าการนิยาม for all แปลงเป็นถ้าแล้ว และ for some แปลงเป็นและ มีความสมมูลกันในแง่ logic ซึ่งก็นิยามแบบอื่นได้อีก ไม่มีอะไรขัดแย้งเช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้เห็นความชัดเจนกว่านี้จะพูดถึงข้อเสียของการแปลงไปเป็นรูป logic แทนว่าจริงๆแล้วมันไม่ equivalent กันซะทีเดียว
อ้อ สังเกตว่า ใน wiki ต่างจากหน้าที่แล้วเล็กน้อยตรง ไม่กำกับ for all, for some อีกแล้วหลังจากแปลงเป็น logic ซึ่งการละนั้น เช่นการเขียน $\{x\in X\}$ เข้าใจว่าหมายถึง for all x in X นะครับ (ตรงกับ convention ที่ใช้กันทั่วไป)
ก่อนอื่นขอพูดถึง ผลเสียของการดึง set ใน for all, for some ที่ทำหน้าที่เหมือนเป็น Universe ที่จะพิจารณาของเรา เข้ามาใน logic ทำให้เกิดความหละหลวมขึ้น (เพราะตัด Universe ทิ้งไปแล้ว)
อย่างประโยคสัญลักษณ์แรกที่เขียน $\{x\in X\} $ ตรงนี้ยังไม่มีปัญหาเท่าไรเพราะอยู่ต่ำแหน่ง hypothesis ของ logic ถ้าแล้ว แต่สิ่งที่ตามมาก็คือ พอเปลี่ยนเป็น equivalent expression ซึ่งมี $\{x\notin X\} $ โผล่มาปัญหาจะเริ่มเกิดแล้ว เพราะไม่รู้ว่า Universe คืออะไร แล้วจะพิจารณาข้อความ "x ไม่อยู่ใน X" จากอะไร เช่น X=เซตของจำนวนจริง การที่บอก "x ไม่อยู่ที่ X" หมายถึงสิ่งต่างๆมากมาย เช่น x อาจจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรืออื่นๆที่ไม่ใช่ตัวเลขก็ยังได้ แล้วใครจะรู้ว่าเราพูดถึงอะไร
กลับกัน ถ้ามี Universe ให้พิจารณาตีกรอบสิ่งที่สนใจไม่เข้ามามั่วกับ logic ใน Universe ประโยค "x ไม่อยู่ใน X"
ก็จะมีความหมายขึ้นมา นั่นคือ "x ใน Universe แต่ไม่อยู่ใน X" นั่นเอง
ต่อมาจะแสดงให้เห็นความผิดปกติที่เกิดขึ้น เนื่องจากการละเลย Universe เพื่อความชัดเจนผมขอใช้สองตัวแปรนะครับ
ลองพิจารณา well-known fact ที่ว่า $[\forall x,y\in \mathbf{R} , xy\not= yx] \equiv F$ ; R=real number
แต่ถ้าเราลองใช้ความ equivalent ตาม wikipedia ที่คุณเล็กแนะนำมา จะได้
$\forall x,y\in \mathbf{R} , xy\not= yx $
$\equiv \{x,y \notin \mathbf{R} \} \vee \{xy\not= yx\} $
ซึ่งประโยคหลังสุดเรานึกตัวอย่างค้านได้ง่ายๆ
เช่น ให้ x,y เป็น Matrix 2x2 จะใดๆ ซึ่งแน่นอนว่า เมทริกไม่ได้อยู่ใน R และ Matrix ไม่มีสมบัติสลับที่การคูณ
ดังนั้นประโยคบนจะได้
$\equiv T \vee T $
$\equiv T $
ซึ่งขัดแย้งกับประโยคแรกสุด ที่เป็น well-known fact ว่า false
ดังนั้นจะเห็นได้ว่า Universe ที่พูดถึงมีความสำคัญมาก ไม่ควรยุบเข้ามาไว้ใน Logic เป็นอย่างยิ่ง(ตามที่ wikipedia อ้างว่าเป็น equivalent expression)
ผมคิดว่า ถ้า for all, for some, universe สามารถแปลงเป็น logic ได้อย่างสมบูรณ์แบบ นักคณิตศาสตร์คงไม่ต้องเสียเวลานิยามขึ้นมาใหม่ให้วุ่นวายนะครับ