อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathematicism
ขออนุญาตตั้งโจทย์ต่อนะครับ
จงหาค่า x ที่เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$x=(x-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}$
|
ผมว่ามันน่าจะมีเทคนิคอะไรนะ แต่ผมขอแสดงวิธีถึกๆแล้วกันครับ
$x=(x-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}$
$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$
$x=\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}$
$x=\frac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}$
$x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}$
ยกกำลังสองครับ
$x^3=x^2+x-2+2\sqrt{(x^2-1)(x-1)}$
$x^3-x^2-x+2=2\sqrt{(x^2-1)(x-1)}$
ยกกำลังสองครับ
$x^6-2x^5-x^4+6x^3-3x^2-4x+4=4x^3-4x^2-4x+4$
$x^6-2x^5-x^4+2x^3+x^2=0$
$x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$
$(x^2-x-1)^2=0$
$x^2-x-1=0$
$x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ จาก Quadratic Formula
แต่ $x\geqslant 0$ เพราะอยู่ในกรณฑ์ที่สอง
ดังนั้น $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
