ดูหนึ่งข้อความ
  #5  
Old 14 มีนาคม 2006, 20:00
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

จากลิงค์ที่ให้มา ทั้งหมดเป็นการแสดงว่าหากเอาครึ่งทรงกลม กรวยและทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว $r$ เท่ากัน กรวยและทรงกระบอกสูง $r$ เอาทรงกระบอกครอบกรวยให้ฐานกรวยอยู่ด้านบน และวางครึ่งทรงกลมให้ฐานของครึ่งทรงกลมอยู่ด้านล่าง จะได้ว่าหลังจาก'ซอย'หน้าตัดขนานกับฐานแล้ว ในแต่ละหน้าตัด

พื้นที่วงแหวนที่ได้จากทรงกระบอกกับกรวย=พื้นที่ของหน้าตัดที่เกิดจากครึ่งทรงกลม

ซึ่งแสดงได้ดังนี้: ณ ความสูง $a$ จากฐานครึ่งทรงกลม มีพื้นที่หน้าตัดเป็น $\pi\sqrt{r^2-a^2}$ (รัศมีหาได้โดยทฤษฎีบทพีทากอรัส)
เนื่องจากรัศมีของหน้าตัดกรวยเท่ากับความสูง $a$ เพราะหากลองผ่ากรวยจากปลายลงมาตามแกนกรวย จะเห็นว่าหน้าตัดที่ได้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐานเป็น 45° และส่วนสูง $a$ แบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว(ซึ่งเป็นมุมฉาก) พื้นที่วงแหวนจึงเป็น $\pi\sqrt{r^2-a^2}$ ###

การพิสูจน์ดังกล่าวอาศัยว่า เราทราบปริมาตรของกรวยและทรงกระบอก และข้อเท็จจริงที่ว่าหากพื้นที่หน้าตัดและส่วนสูงมีขนาดเท่ากันปริมาตรจะเท่ากัน ดังนั้น ปริมาตรของครึ่งทรงกลมจึงต้องเท่ากับปริมาตรของทรงกระบอกหักออกด้วยปริมาตรกรวย

ส่วนพื้นที่ผิวทรงกลม จากที่กล่าวด้านบนหากเรามองว่าในแต่ละส่วนตัด(ที่บางพอ) พื้นผิวเอียงๆด้านข้างของส่วนตัดทรงกลมและทรงกระบอกด้านข้างจะไม่แตกต่างกันมาก (นั่นคือลบกันแล้วได้ค่าใกล้ศูนย์) แต่หากใช้แคลคูลัส จะได้ว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของครึ่งทรงกลมเป็น $R^2\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \sin\varphi\ d\varphi d\theta=2\pi R^2$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

14 มีนาคม 2006 20:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้