วิธีทำข้อ 5 สุดยอดมากเลยครับผมนั่งแทนค่าตั้งนาน
ข้อ 8 จริงๆแล้ว $d(x,y)$ เป็นจำนวนที่นิยามขึ้นมาใหม่ เหมือนเป็นตัวแปร $z$ ตัวหนึ่งนั่นแหละครับ
เพราะฉะนั้นถ้าแ่บ่ง $\{1,2,3,...,2553\}$ ออกเป็น $\{1,2,...,37\}\cup\{38,39,...,74\}\cup...\cup\{2517,2518,...2553\}$ ซึ่งแต่ละเซตเป็นเซตที่เป็นเศษของการหารจำนวนเต็มใดๆด้วย $2553$ และรวมมีเซตดังกล่าวทั้งหมด $69$ เซต ดังนั้นถ้ามี เซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มอย่างน้อย $70$ตัว โดยหลักรังนกพิราบต้องมี $2$ ตัวอยู่ในเซตเดียวกัน ให้เป็น $m,n$ จะได้ว่า $\left|\,\right.m-n\left|\,\right. \leqslant 36(mod 2553)$ ดังนั้น $d(m,n)\leqslant 36$ ตามต้องการ
ข้อ 7 ผมขออนุญาตเพิ่มอีก Solution ละกันนะคับ
โดย $AM-GM$
1.$\frac{a^5}{bc^2}+\frac{a^5}{bc^2}+b^2+c^2+c^2\geqslant 5a^2$
ทำแบบนี้กับอีก 2 ตัว แล้วบวกกันหมดจะได้ $2(L.H.S.)+3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 5(a^2+b^2+c^2)$
$\therefore L.H.S.\geqslant a^2+b^2+c^2$
2.จาก $\frac{a^5}{bc^2}+bc+ac\geqslant 3a^2$
ทำแบบนี้กับอีก 2 ตัวแล้วบวกกันได้ $L.H.S.\geqslant 3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geqslant a^2+b^2+c^2$
$\therefore L.H.S.\geqslant a^2+b^2+c^2$