10.
$\log_{10} 5^{200} = 200\,\log_{10} 5 \approx 200(0.6990) = 139.8$
จะได้ $5^{200} \approx 10^{139.8} = 10^{0.8} \times 10^{139}$
เนื่องจาก $1 < 10^{0.8} < 10$
เลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ คือ เลขหลักหน่วยของ $10^{0.8}$ (เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน $10$)
เนื่องจาก $\log_{10} 6 = \log_{10} 3 + \log_{10} 2 \approx 0.7781$
และ $log_{10} 7 \approx 0.8451$
และ $0.7781 < 0.8 < 0.8451$
แสดงว่า $10^{0.7781} < 10^{0.8} < 10^{0.8451}$
$10^{\log_{10} 6} < 10^{0.8} < 10^{\log_{10} 7}$
นั่นคือ $6 < 10^{0.8} < 7$
เลขหลักหน่วยของ $10^{0.8}$ คือ $6$
ดังนั้น เลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ คือ $6$
ป.ล. ไม่มีใครเข้ามาเฉลยเลย อย่างน้อยเจ้าของโจทย์เข้ามาเฉลยวิธีของตัวเองซะหน่อยก็ยังดีนะครับ
