[กิตติ]

ขยายความต่อจากที่พี่NoName ทำไว้เผื่อบางท่านจะงง

$(x+13)^{2011}+(x+13)^{2010}(31-x)+(x+13)^{2009}+(31-x)^2+...+(31-x)^{2011}=0$

ลองเอา$(x+13)$ กับ $(31-x)$ คูณทั้งสมการคนละทีจะได้สมการเป็น

$(x+13)^{2012}+(x+13)^{2011}(31-x)+(x+13)^{2010}+(31-x)^2+...+(x+13)(31-x)^{2011}=0$.............(1)

$(x+13)^{2011}(31-x)+(x+13)^{2010}(31-x)^2+(x+13)^{2009}+(31-x)^3+...+(31-x)^{2012}=0$.............(2)

(1)-(2)
$(x+13)^{2012}-(31-x)^{2012}=0$

$\left\{\,(x+13)^{1006}+(31-x)^{1006}\right\}\left\{\,(x+13)^{1006}-(31-x)^{1006}\right\} =0 $

เนื่องจาก $(x+13)^{1006}+(31-x)^{1006}=\left(\,(x+13)^{503}\right)^2+\left(\,(31-x)^{503}\right)^2 $ ซึ่งมีค่า $>0$

$\left\{\,(x+13)^{1006}-(31-x)^{1006}\right\} $
$=\left(\,(x+13)^{503}-(31-x)^{503}\right)\left(\,(x+13)^{503}+(31-x)^{503}\right) $

$503$ เป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นเลขคี่
$(x+13)^{503}+(31-x)^{503}\not= 0$
$(x+13)^{503}-(31-x)^{503}=0$

จะสรุปได้ว่า $x+13=31-x \rightarrow x=9$
ได้ตามที่พี่์NoName หาไว้
$x^2-3x+9=81-27+9=90-27=63$