เอาล่ะ เรามาเริ่มจากสนามเวกเตอร์ F ที่กำหนดดังรูป
จงหา flux ของ $\vec F$ (เฉลยตอบ $\frac{3\pi}{2} $)
เพราะฉะนั้น $\vec F = x \vec i~+y\vec j+z\vec k = x \vec i~+y\vec j+(1-x^2-y^2)\vec k$ จะพบว่าโจทย์กำหนดสนามเวกเตอร์ F บน S ที่อยู่บนระนาบ XY ซึ่งต่อไปจะเขียนแทนด้วย $S_{XY}$ ดังนั้น โจทย์เต็ม ๆ ของข้อนี้ก็คือ จงหา flux ของ $\vec F$ บน S ที่อยู่บนระนาบ XY (ซึ่งหมายถึง z = 0 นั่นเอง)
การคำนวณใน Flux จะคำนวณบนโดเมน S ส่วนใหญ่โดเมน S ที่คำนวณจะอยู่บนระนาบ XY หรือ XZ หรือ YZ ทำให้มีการคำนวณอยู่ 3 แบบ (และแต่ละแบบสามารถคำนวณได้อีก 2 วิธี) รวมการคำนวณทั้งหมดมี 6 วิธี
วิธีที่ 1 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XY (หรือระนาบ z = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dy dx
วิธีที่ 2 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XY (หรือระนาบ z = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dx dy
วิธีที่ 3 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XZ (หรือระนาบ y = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dz dx
วิธีที่ 4 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XZ (หรือระนาบ y = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dx dz
วิธีที่ 5 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ YZ (หรือระนาบ x = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dz dy
วิธีที่ 6 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ YZ (หรือระนาบ x = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dy dz
การคำนวณแบบที่ 1 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XY
$~~~$สูตรที่ใช้คือ flex of $\vec F$ over S = $\int \int_{S_{XY}}^{}\,\vec F~.~ \vec n ~ d\rho $ โดยที่ $\overrightarrow{n} $ เป็น Normal Vector ที่ตั้งฉากพื้นผิว S และ $\rho$ แทนพื้นผิวของ S
เราสามารถเขียนสูตรให้อยู่ในรูปของสเกลาร์ f ได้ดังนี้
$$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{XY}}^{}\, (-Pf_x-Qf_y+R) ~ dA $$
โดยที่ $\vec F = P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ และ f เป็นฟังก์ชันของ x,y
$~~~$ เราจะต้องหาฟังก์ชัน f(x,y) ให้ได้เสียก่อน ซึ่งก็คือ $f(x,y) = z = 1-x^2-y^2$ ซึ่งเป็นกราฟพาราโบลอยด์ : paraboloid (สะกดแบบนี้ครับ) (จะพบว่าเป็นการคำนวณบน $S_{XY}$ ในรูปแบบที่ 1 ด้านซ้าย) การคำนวณต้อง Simplify โจทย์เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง จะพบว่า f(x,y) อยู่เหนือระนาบ XY แสดงว่า flux เป็นบวก และจะพบว่าบริเวณ $S_{XY}$ สามารถแบ่งออกเป็น 4 ส่วนที่เท่า ๆ กัน แสดงว่า flux บน $S_{XY}$ = 4 เท่าของ flux บน $R_{XY}$ ในรูปแบบที่ 1 ด้านขวา จะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{XY}}^{}\, (-Pf_x-Qf_y+R) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int \int_{R_{XY}}^{}\, (-Pf_x-Qf_y+R) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int \int_{R_{XY}}^{}\, ((-x)(-2x) -y(-2y)+z) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~z = 1-x^2-y^2 , P = x , Q = y , R = z , f_x = -2x , f_y = -2y )$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int \int_{R_{XY}}^{}\, (1+x^2+y^2) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2} }\, (1+x^2+y^2) ~ dy~dx ~~ (วิธีที่ 1) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~4~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^2} }\, (1+x^2+y^2) ~ dx~dy ~~ (วิธีที่ 2) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=4~\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} $
การคำนวณแบบที่ 2 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XZ
$~~~$สูตรที่ใช้คือ flex of $\vec F$ over S = $\int \int_{S_{XZ}}^{}\,\vec F~.~ \vec n ~ d\rho $ โดยที่ $\overrightarrow{n} $ เป็น Normal Vector ที่ตั้งฉากพื้นผิว S และ $\rho$ แทนพื้นผิวของ S
เราสามารถเขียนสูตรให้อยู่ในรูปของสเกลาร์ f ได้ดังนี้
$$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{XZ}}^{}\, (-Pf_x+Q-Rf_z) ~ dA $$
โดยที่ $\vec F = P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ และ f เป็นฟังก์ชันของ x,z
$~~~$ เราจะต้องหาฟังก์ชัน f(x,z) ให้ได้เสียก่อน ซึ่งก็คือ $f(x,z) = y = \pm \sqrt{1-x^2-z} $ (จะพบว่าเป็นการคำนวณบน $S_{XZ}$ ในรูปแบบที่ 2 ด้านซ้าย) การคำนวณต้อง Simplify โจทย์เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง จะพบว่า f(x,z) อยู่ทางขวา(อาจเรียกว่าเหนือก็ได้) ระนาบ XZ และอยู่ทางซ้าย(อาจเรียกว่าใต้ก็ได้) ระนาบ XZ (การคำนวณ flux เหนือระนาบเป็นบวก และใต้ระนาบเป็นลบ และผลลัพธ์ไม่เท่ากันเสมอไป ต้องแยกการคำนวณเหนือระนาบ และใต้ระนาบ) และจะพบว่าบริเวณ $S_{XZ}$ สามารถแบ่งออกเป็น 2 ส่วนที่เท่า ๆ กัน ในรูปแบบที่ 2 ด้านขวา จะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (เหนือระนาบ XZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= \int \int_{S_{XZ}}^{}\, (-Pf_x+Q-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(x,z) = \sqrt{1-x^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, ((-x)\frac{-x}{\sqrt{1-x^2-z} } +y-z\frac{-1}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~y = \sqrt{1-x^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-z} } , f_z =\frac{-1}{2\sqrt{1-x^2-z} } )$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, (\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } +\sqrt{1-x^2-z} +\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x^2 }\, ( \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } +\sqrt{1-x^2-z} +\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dz~dx ~~ (วิธีที่ 3) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } +\sqrt{1-x^2-z} +\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dx~dz ~~ (วิธีที่ 4) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=2~\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $
และจะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (ใต้ระนาบ XZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-1)~\int \int_{S_{XZ}}^{}\, (-Pf_x+Q-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(x,z) = -\sqrt{1-x^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, ((-x)\frac{x}{\sqrt{1-x^2-z} } +y-z\frac{1}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~y = -\sqrt{1-x^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_x = \frac{x}{\sqrt{1-x^2-z} } , f_z =\frac{1}{2\sqrt{1-x^2-z} } )$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, (\frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } -\sqrt{1-x^2-z} -\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x^2 }\, ( \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } -\sqrt{1-x^2-z} -\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dz~dx ~~ (วิธีที่ 3) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~(-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } -\sqrt{1-x^2-z} -\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dx~dz ~~ (วิธีที่ 4) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=(-2)~\frac{-3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $
ดังนั้น $flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~=~ \frac{3\pi}{4}+(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}$
การคำนวณแบบที่ 3 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ YZ
$~~~$สูตรที่ใช้คือ flex of $\vec F$ over S = $\int \int_{S_{YZ}}^{}\,\vec F~.~ \vec n ~ d\rho $ โดยที่ $\overrightarrow{n} $ เป็น Normal Vector ที่ตั้งฉากพื้นผิว S และ $\rho$ แทนพื้นผิวของ S
เราสามารถเขียนสูตรให้อยู่ในรูปของสเกลาร์ f ได้ดังนี้
$$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{YZ}}^{}\, (P-Qf_y-Rf_z) ~ dA $$
โดยที่ $\vec F = P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ และ f เป็นฟังก์ชันของ y,z
$~~~$ เราจะต้องหาฟังก์ชัน f(y,z) ให้ได้เสียก่อน ซึ่งก็คือ $f(y,z) = x = \pm \sqrt{1-y^2-z} $ (จะพบว่าเป็นการคำนวณบน $S_{YZ}$ ในรูปแบบที่ 3 ด้านซ้าย) การคำนวณต้อง Simplify โจทย์เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง จะพบว่า f(y,z) อยู่เหนือระนาบ YZ และอยู่ใต้ระนาบ YZ (การคำนวณ flux เหนือระนาบเป็นบวก และใต้ระนาบเป็นลบ และผลลัพธ์ไม่เท่ากันเสมอไป ต้องแยกการคำนวณเหนือระนาบ และใต้ระนาบ) และจะพบว่าบริเวณ $S_{YZ}$ สามารถแบ่งออกเป็น 2 ส่วนที่เท่า ๆ กัน ในรูปแบบที่ 3 ด้านขวา จะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (เหนือระนาบ YZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= \int \int_{S_{YZ}}^{}\, (P-Qf_y-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(y,z) = \sqrt{1-y^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (x -y\frac{-y}{\sqrt{1-y^2-z} } -z\frac{-1}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~x = \sqrt{1-y^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_y = \frac{-y}{\sqrt{1-y^2-z} } , f_z =\frac{-1}{2\sqrt{1-y^2-z} } )$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (\sqrt{1-y^2-z} +\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } +\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y^2 }\, ( \sqrt{1-y^2-z} +\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } +\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dz~dy ~~ (วิธีที่ 5) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( \sqrt{1-y^2-z} +\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } +\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dy~dz ~~ (วิธีที่ 6) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=2~\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $
และจะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (ใต้ระนาบ YZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-1)~\int \int_{S_{YZ}}^{}\, (P-Qf_y-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(y,z) = -\sqrt{1-y^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (x -y\frac{y}{\sqrt{1-y^2-z} } -z\frac{1}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~x = \sqrt{1-y^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_y = \frac{y}{\sqrt{1-y^2-z} } , f_z =\frac{1}{2\sqrt{1-y^2-z} } )$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (-\sqrt{1-y^2-z} -\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } -\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y^2 }\, ( -\sqrt{1-y^2-z} -\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } -\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dz~dy ~~ (วิธีที่ 5) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~(-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( -\sqrt{1-y^2-z} -\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } -\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dy~dz ~~ (วิธีที่ 6) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=(-2)~\frac{-3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $
ดังนั้น $flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~=~ \frac{3\pi}{4}+(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}$
ขอบคุณครับ... จบเสียที