อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
2. หาค่าของ\[\frac{\ln2}{2}-\frac{\ln3}{3}+\frac{\ln4}{4}-\frac{\ln5}{5}+\cdots\]
|
ให้\[a_n= \frac{(\ln n)^2}{2}-\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}\,, \quad n=4,5,6,\dots\]เราจะแสดงว่า \(\lim_{n\to\infty}a_n\) หาค่าได้ โดยเริ่มจากการสังเกตว่า\[\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right)= \frac{1-\ln x}{x^2}\,<\,0\quad\text{เมื่อ}\quad x\ge3\]ดังนั้น \(\frac{\ln x}{x}\) จึงเป็น strictly decreasing function เมื่อ \(x\ge3\) ซึ่งนั่นทำให้เรารู้ว่า\[\int_3^4\frac{\ln x}{x}\,dx \quad<\quad\frac{\ln3}{3}\]\[\int_4^5\frac{\ln x}{x}\,dx \quad <\quad\frac{\ln4}{4}\]\[\vdots\]\[\int_{n-1}^n\frac{\ln x}{x}\,dx \quad<\quad\frac{\ln(n-1)}{n-1}\]จับทั้งหมดบวกกันจะได้\[\int_3^n\frac{\ln x}{x}\,dx= \frac{(\ln n)^2}{2}-\frac{(\ln3)^2}{2}\quad<\quad \sum_{k=3}^{n-1}\frac{\ln k}{k}\]เราจึงได้ว่า\[a_n=\frac{(\ln n)^2}{2}-\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}\,<\,\frac{(\ln3)^2}{2}-\frac{\ln2}{2}-\frac{\ln n}{n}\,<\, \frac{(\ln3)^2}{2}-\frac{\ln2}{2}\]ดังนั้น \(\{a_n\}\) จึงเป็นลำดับที่มี upper bound
จากที่ \(\frac{\ln x}{x}\) เป็น strictly decreasing function เมื่อ \(x\ge3\) ดังนั้น\[\frac{\ln(n+1)}{n+1}\quad<\quad \int_n^{n+1}\frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{\left(\ln(n+1)\right)^2}{2}-
\frac{(\ln n)^2}{2}\,,\quad n\ge3\]เราจึงได้ว่า\[a_{n+1}-a_n=\frac{\left(\ln(n+1)\right)^2}{2}-\frac{(\ln n)^2}{2}-\frac{\ln(n+1)}{n+1}\,>\, 0\]นั่นคือ \(\{a_n\}\) เป็น strictly increasing sequence
เนื่องจาก \(\{a_n\}\) เป็น increasing sequence ที่มี upper bound ดังนั้น \(\lim_{n\to\infty}a_n\) หาค่าได้ เราจึงได้ว่า\[\lim_{n\to\infty}a_{2n}-a_n= 0\]ต่อไปก็เป็นการหาค่าผลบวกของอนุกรมเสียที\[\sum_{k=2}^{2n}(-1)^k\frac{\ln k}{k}= \frac{\ln2}{2}-\frac{\ln3}{3}+\frac{\ln4}{4}-\cdots+ \frac{\ln(2n)}{2n}\]\[=\left(\frac{\ln2}{1}+\frac{\ln4}{2}+\frac{\ln6}{3} +\cdots+\frac{\ln(2n)}{n}\right)-\left(\frac{\ln2}{2}+\frac{\ln3}{3}+\frac{\ln4}{4}+ \cdots+\frac{\ln(2n)}{2n}\right)\]\[= \left(\frac{\ln2+\ln1}{1}+\frac{\ln2+\ln2}{2}+\frac{\ln2+\ln3}{3}+\cdots+\frac{\ln2+\ln n}{n}\right)- \sum_{k=2}^{2n}\frac{\ln k}{k}\]\[= \ln2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)+\sum_{k=2}^{n}\frac{\ln k}{k}- \sum_{k=2}^{2n}\frac{\ln k}{k}\]\[= \ln2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{(\ln n)^2}{2}-a_n\right)- \left(\frac{(\ln(2n))^2}{2}-a_{2n}\right)\]\[=\ln2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)-\frac{(\ln2)^2}{2}+ (a_{2n}-a_n)\]ให้ \(n\to\infty\) เราจะได้คำตอบออกมาคือ\[\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\ln k}{k}= \gamma\ln2-\frac{(\ln2)^2}{2}\]โดยที่ \(\gamma=0.5772156649 \dots\) คือ
Euler Constant
หมายเหตุ\[\lim_{n\to\infty}a_n= -\gamma_1=0.0728158454836767\dots\]และเราเรียก \(\gamma_1\) ว่า
First Stieltjes Constant ครับ
