จะช่วยทยอยคิดให้เรื่อยๆนะครับ ผิดตรงไหนแย้งได้นะครับ
จาก $A =\frac{1}{\sqrt{1} +\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{2} +\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{8} +\sqrt{9} } $
คอนจูเกจ $A$ จะได้
$A=\frac{\sqrt{1} -\sqrt{2} }{1-2} +\frac{\sqrt{2} -\sqrt{3} }{2-3} +...+\frac{\sqrt{8} -\sqrt{9} }{8-9} $
$= -(\sqrt{1} -\sqrt{2} )-(\sqrt{2} -\sqrt{3} ) -...-(\sqrt{8} -\sqrt{9} )$
$= -1+\sqrt{2} -\sqrt{2} +\sqrt{3} -\sqrt{3} +....-\sqrt{8} +\sqrt{9}$
$= -1+3$
$= 2$
จาก $B=\frac{1}{\sqrt{1} -\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{2} -\sqrt{3} } +...-\frac{1}{\sqrt{8} -\sqrt{9} } $
คอนจูเกจ $B$ จะได้
$B=\frac{\sqrt{1} +\sqrt{2} }{1-2} -\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3} }{2-3} +...-\frac{\sqrt{8} +\sqrt{9} }{8-9} $
$=-(\sqrt{1} +\sqrt{2} )-(-(\sqrt{2} +\sqrt{3} ))+...-(-(\sqrt{8} +\sqrt{9} ))$
$=-1-\sqrt{2} +\sqrt{2} +\sqrt{3} -\sqrt{3} +\sqrt{4} -...+\sqrt{8} +\sqrt{9} $
$=-1+3$
$=2$
จะได้ $A=B=2$
พิจารณา $(5+2\sqrt{13} )^1+(5-2\sqrt{13})^1$
$=((5+2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} })^3+((5-2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} })^3$
$=( (5+2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} }+(5-2\sqrt{13})^{\frac{1}{3} })((5+2\sqrt{13} )^\frac{2}{3} -(5+2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} }+(5-2\sqrt{13})^{\frac{1}{3} }+(5-2\sqrt{13})^{\frac{2}{3} })$
$=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} -\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )(5-2\sqrt{13} )} +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$
$=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} -\sqrt[3]{-27} +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$
$=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} -(-3) +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$
$=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} +3 +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$
ให้ $x=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } ,y=\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } $ จะได้
$(5+2\sqrt{13} )^1+(5-2\sqrt{13})^1=(x+y)(x^2+3+y^2)$
$10=(x+y)((x+y)^2-2xy+3)$
$10=(x+y)((x+y)^2-2(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13})(5-2\sqrt{13}) } )+3)$
$10=(x+y)((x+y)^2-2(\sqrt[3]{-27} )+3)$
$10=(x+y)((x+y)^2-2(-3) +3)$
$10=(x+y)((x+y)^2+6 +3)$
ให้ $ x+y=A=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } $ (สิ่งที่โจทย์ถาม) จะได้
$10=A(A^2+9)$
$10=A^3+9A$
$A^3+9A-10=0$
$(A-1)(A^2+2A+10)=0$
$A=1,รูทติดลบอีกคำตอบหนึ่ง$
$\therefore A=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } =1 $
$x^3-4x^2+2x+3=0 $
จากความสัมพันธ์ของรากและสปส.(viete's theorem) โดย $a,b,c$ เป็นรากทั้งสามของสมการ จะได้
$a+b+c=4 --(1)$
$ab+bc+ca=2 --(2)$
$abc=-3 --(3)$
จากโจทย์ต้องการ $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)$
$=(1-a^2-b^2+a^2b^2)(1-c^2)$
$=1-c^2-a^2+a^2c^2-b^2+b^2c^2+a^2b^2-a^2b^2c^2$
$=1-(a^2+b^2+c^2)+(a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2)+(abc)^2 --(4)$
เราจะหา $a^2+b^2+c^2$ ได้จากความสัมพันธ์
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ ;แทน(1),(2)
$4^2=a^2+b^2+c^2+2(2)$
$\therefore a^2+b^2+c^2=16-4=12 --(5)$
เราจะหา $a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2$ ได้จากความสัมพันธ์
$(ab+bc+ca)^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2+2abc(a+b+c)$ ;แทน(1),(2)และ(3)
$2^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2+2(-3)(4)$
$\therefore a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2=4+24=28 --(6)$
แทน(5),(6)และ(3) ในสมการ(4)
$=1-(a^2+b^2+c^2)+(a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2)+(abc)^2$
$=1-(12)+(28)+(-3)^2$
$=1-12+28+9$
$=26$