อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step
3. ช่วยพิจารณาความแตกต่างระหว่าง โจทย์ 2 ข้อนี้ทีครับ
(1) มีหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้ นักเรียน 2 คนคนหนึ่ง 5 เล่มคนหนึ่ง 3 เล่มได้กี่วิธี(112)
เฉลย $\binom{8}{5,3} + \binom{8}{3,5} = 112$
(2) แจกหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้นักเรียน 3 คน คนแรก 1 เล่มคนที่สอง 3 เล่ม คนที่สาม 4 เล่มทำได้กี่วิธี(280)
ถ้าทำตาม (1) จะเกิน ถ้าเป็นแบบนี้ $\binom{8}{3,4} = 280$
งงมากๆ เลยครับ
|
ข้อแรกนั้น โจทย์ไม่ได้กำหนดว่า หนังสือที่แบ่งแล้ว จะให้เด็กคนไหน จึงมี 2 กรณี คือ คนแรกได้ 5 เล่ม อีกคนได้ 3 เล่ม และอีกกรณีก็สลับกัน
ส่วนข้อ 2.นั้นโจทย์บังคับเลยว่า หนังสือที่แ่บ่งออกเ้ป็น 3 กอง คือ กองละ 1, 3, 4 จะต้องแจกให้เด็กคนแรก, สอง, สาม ตามลำดับ ดังนั้นเมื่อแบ่งหนังสือออกเป็นกองแล้ว หนังสือกองต่าง ๆ ต้องแจกให้เด็กที่บังคับไว้เท่านั้น
วิธีการแจกของที่ต่างกัน ลงในกล่องที่ต่างกัน มีหลักการคิดอยู่ 2 ขั้น จำไว้ให้แม่นครับ
ขั้นที่ 1. แบ่งออกเป็นกอง ๆ ทำได้ $\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$ และถ้ามี $n_i = n_j$ เป็นจำนวน m กอง ก็ให้หารด้วย m! เช่น มีหนังสือต่างกัน 11 เล่ม ถ้าเป็น 5 กอง คือ 2, 2, 2, 2, 3 จะแบ่งได้ $\frac{11!}{2!2!2!2!3!4!}$ ถ้าคิดแบบพื้นฐานแต่ลีลาก็คือ $\binom{11}{2}\binom{9}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{3}\cdot\frac{1}{4!}$
ขั้นที่ 2. แจกของ ให้เอาหนังสือที่แบ่งในขั้นที่ 1 นั้นดูว่ากองไหน จะแจกให้ใครได้บ้าง ทีละกอง แล้วเอาไปคูณกันให้หมด อย่างในข้อแรก ถ้าทำแบบที่ว่าก็คือ
แบ่งหนังสือเป็นกองละ 5 กับ 3 ทำได้ $\frac{8!}{5!3!}$
จากนั้นก็แจกหนังสือ ,
ขั้นที่ 2.1 หนังสือกองละ 5 เลือกว่าจะแจกให้เด็กคนไหน ทำได้ 2 วิธี เพราะมีเด็กสองคนให้เลือก
ขั้นที่ 2.2 หนังสือกองละ 3 เลือกว่าจะแจกให้เด็กคนไหน ทำได้ 1 วิธี เพราะเหลือเด็กคนเดียว
ดังนั้นทำได้ทั้งหมด $\frac{8!}{5!3!}\times 2 \times 1 $
อ้างอิง:
4. โยนลูกเต๋า 3 ลูกครั้งหนึ่ง จงหาจำนวนวิธี
ก. ลูกเต๋าแต้มรวมเป็น 11 (27)
ผมตั้งเป็นสมการ $x+y+z = 11 , x,y,z \geqslant 0$
$x+y+z = 8 , x,y,z \geqslant 1$ หลังจากนั้นหาคำตอบได้$ \binom{8+3-1}{8} = 45 $ อะึีครับช่วยดูให้ทีว่าทำไมคำตอบไม่เท่ากัน
|
ตั้งสมการผิดครับ สมการที่ถูกคือ $x+y+z = 11 , 1\le x \le 6, 1\le y \le 6, 1\le z \le 6$
ถ้าทำถูกจะได้ $\binom{10}{2} - 3\binom{4}{2} = 45 - 18 = 27$