ถ้าเผื่อต้องการคิดก่อนซักนิดนึงผมจะให้ hint ไว้นะครับ แต่ก่อนอื่นขอเรียงระดับความยาก(สำหรับผม) ก่อนนะครับ เผื่อจะช่วยในการตัดสินใจทำได้ถูก
สำหรับผมตามความยาก: 2<6<3<4=5<1
แต่ละข้อก็จะมีเทคนิคเล็ก ๆ น้อย ๆ ลองเอาไปย่อย ๆ ดูสักพัก ก็จะได้ไอเดีย เผื่อเจอโจทย์อื่น ก็จะได้นำเทคนิคนี้ไปใช้ ฝึกฝนเรื่อย ๆ ก็จะเซียนขึ้น บางทีอาจจะเจอโจทย์แล้วถึงขั้นมองตอบเลยก็ได้
ปล. โจทย์ข้อ 1 ยากสุดซะงั้น 5555
Hint:
ลองลบอสมการฝั่งซ้ายด้วยฝั่งขวาเพื่อให้ได้อสมการที่สมมูล แล้วลองนึกวิธีใช้ chebychev ดูครับ
คูณ $2abc$ ตลอดทั้งสมการก็จะทำให้อสมการดูง่ายลงขึ้นเยอะ ต่อจากนั้นลองใช้อสมการ rearrangement หรืออสมการอื่น ๆ ในการพิสูจน์ดูครับ อันนี้มีหลายวิธี
ลองแบ่งการพิสูจน์ออกเป็นสองส่วนดูครับ ดังนี้
\begin{align*}a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a \\(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3 \ge ab^2 + bc^2 + ca^2 \end{align*}
ขั้นแรกต้องทำให้ดีกรีของทั้งสองฝั่งเท่ากันก่อน (หรือที่เรียกกันว่า Homogenize) ก็จะได้อสมการที่สมมูลคือ
\begin{align*}\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}} \end{align*}
ตรงนี้อาจจะมองยากอยู่ แต่ไม่เป็นไรลองแทนค่าให้ $a^3 = \frac{y}{z}, b^3 = \frac{z}{x}, c^3 = \frac{x}{y}$ แล้วลองดูว่าฝั่งขวาจะเขียนเป็นรูป $a,b,c$ ยังไง ถ้ายังนึกไม่ออกลองดูแต่ละตัวว่า $\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}$ เขียนเป็นรูป $a,b,c$ ยังไง
ข้อนี้เน้นเทคนิคนิดนึง ก่อนอื่นสังเกตว่าตัวส่วนนี่ดีกรีไม่เท่ากัน ลองคูณก่อนบางอย่างเข้าไปทั้งเศษและส่วน แล้วลองใช้ Cauchy-Schwarz ตัวส่วนดู เพื่อทำให้ดีกรีของแต่ละพจน์มีค่าเท่ากัน และทำให้ใช้เงื่อนไขได้ง่ายขึ้นด้วย
คูณไขว้แล้วกระจายดู พยายามเขียนในรูป sum ที่ทำให้เข้าใจง่ายขึ้น