อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN
2.ให้ $f:{Z}\rightarrow{Z}$ซึ่งสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้
$(1)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ทุก x,y เป็นสมาชอกของZ
$(2)$ $f๐f(1) \leq{100}$
จำนวนfunction f ที่มีสมบัติทั้งสองข้างต้นมีทั้งหมดกี่ฟังชั่นที่เป็นไปได้
|
แทนค่า $x=y=0$ จะได้ $f(0)=0$
แทนค่า $x=y=1$ จะได้ $f(2)=2f(1)$
.
.
.
โดย induction จะได้ $f(n)=nf(1)$ ทุกค่า $n\geq 1$
แทนค่า $x=1,y=-1$ จะได้ $0=f(0) = f(1)+f(-1) \Rightarrow f(-1)=-f(1)$
โดย induction เราจะได้ว่า $f(-n)=-nf(1)$ ทุกค่า $n\geq 1$
ดังนั้นเราได้ว่า $f(n)=nf(1)$ ทุกค่า $n\in\mathbb{Z}$
ให้ $a=f(1)$ เราจะได้ว่า $f\circ f(1)=f(a)=af(1)=a^2$
ดังนั้นเราได้ $a^2\leq 100 \Rightarrow |a|\leq 10$
จึงมีค่า $a$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด $21$ ค่า
เนื่องจากจำนวนฟังก์ชัน $f$ ขึ้นอยู่กับค่า $a=f(1)$ เราจึงได้ว่ามีฟังก์ชัน $f$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด $21$ ฟังก์ชัน
