อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ robot123
22. ให้ $ X= \{ (a,b) \in R\times R \mid a^{3}+b^{3}=7 และ a^{2}+b^{2}+a+b+ab=4 \} $และ
$ Y=\{a^{2}+b^{2} \mid (a,b) \in X \}$ ค่าน้อยที่สุดของสมาชิกในเซต $Y$ เท่ากับเท่าไร
23. ให้ $ q_1,q_2,...,q_n $ เป็นจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกับ
$$ \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}} = 2^{q_1}+2^{q_2}+...+2^{q_n}$$
จงหาค่าของ $2(n+q_1+q_2+...+q_n)$
|
22. ให้ $p=a+b,q=ab$ จะได้
$p(p^2-3q)=7$
$p^2+p-q=4$
ดังนั้น
$p[p^2-3(p^2+p-4)]=7$
$(p-1)^2(2p+7)=0$
$p=1,-\dfrac{7}{2}$
ดังนั้น
$(p,q)=(1,-2),(-\dfrac{7}{2},\dfrac{19}{4})$
แต่ $(-\dfrac{7}{2},\dfrac{19}{4})$ ใช้ไม่ได้
จึงได้
$a^2+b^2=p^2-2q=5$
_________________________________________________________
23. ให้ $x=\sqrt[6]{2}$ จะได้
$x^6=2\Rightarrow (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=1$
ดังนั้น
$\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}=\dfrac{1}{x^3-x^2}$
$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{x^6}{x^3-x^2}\Big)$
$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^4}{x-1}$
$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}x^4(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4)$
$~~~~~~~~~~~~=2^{1/2}+2^{1/3}+2^{1/6}+2^0+2^{-1/6}+2^{-1/3}$