อยากทราบว่าเราจะพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้อย่างไรครับ
ให้ A, B เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ถ้า AB = I แล้ว BA = I
จะเห็นได้ไม่ยากว่าข้อความข้างต้นเป็นจริง เพราะถ้าเราใส่ determinant ลงไปก็จะทำให้เห็นว่า A และ B invertible (มี determinant ไม่เป็น 0) เอา A
-1 คูณตลอดจะได้ว่า B = A
-1 ดังนั้น BA = I
แต่ผมอยากได้การพิสูจน์ที่ใช้แค่สมบัติพื้นฐานของเมตริกซ์ ไม่ต้องไปพึ่งถึงเรื่องไกลๆอย่าง determinant น่ะครับ
สังเกตนิดนึงว่าจาก AB = I นั้นเราบอกได้เพียงว่า B เป็น right inverse ของ A เรายังบอกไม่ได้ว่า B เป็น inverse ของ A (ไม่งั้นก็คงไม่ต้องพิสูจน์อะไรแล้ว
) ดังนั้นจุดสำคัญของการพิสูจน์น่าจะอยู่ที่การแสดงว่า A มี left inverse ด้วย (ซึ่งถ้าทำได้เราจะได้ผลที่ต้องการทันที เพราะถ้ามีทั้ง left และ right inverse เรารู้ว่ามันจะต้องเป็นตัวเดียวกัน)
ขอบคุณล่วงหน้าครับ