อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion
โจทย์ข้อ 14 แสดงวิธีทำ
จำนวนชุดหนึ่ง คือ n,n+1,n+2,n+3,...,n+100 ถามว่า จะมี n กี่จำนวนที่ทำให้ในชุดนี้มีจำนวนกำลังสองสมบูรณฺ์อยู่ 6 จำนวน
|
ข้อนี้ในห้องสอบ หลังจากคิดได้ คงต้องใช้เวลาเขียนบรรยายเป็นสิบนาทีแน่ๆ
ลองหลับตานึกตั้งแต่ n = 1 จะได้ ตัวเลข 1, 2, 3, ..., 101
ซึ่งมีเลขกำลังสองอยู่ 10 จำนวน คือ $ \ 1^2, 2^2, 3^2, ..., 10^2$
ซึ่งต้องตัดออก 4 จำนวน คือ $ \ 1^2, 2^2, 3^2, 4^2$
ดังนั้น
n ตัวแรก คือ 17
เลขชุดใหม่ คือ 17, 18, 19, .... , 117 จะมีเลขกำลังสอง 6 จำนวน คือ $ \ 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2$
ขยับ n มาอีก 1 จะได้
n = 18
18, 19, 20, ..., 118
n ไปได้ถึง 19, 20
จำนวนใหม่คือ 20, 21, 22, ..., 120
(ที่ต้องหยุดตรงนี้ เพราะเลขถัดไป 121 เป็นกำลังสอง จะเกิน 6 จำนวน)
นั่นคือ
n ชุดแรก มี 4 จำนวน 17, 18, 19, 20
ถ้าจะใช้ 121 ก็ต้องตัดเลขกำลังออกไป 1 ตัวคือ 25
ดังนั้น n ตัวต่อไปคือ 26
26, 27, 28, ... 126 จะมีเลขกำลังสองคือ $ \ 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2, 11^2$
n ชุดนี้ที่จะเป็นไปได้คือ 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 นั่นคือ
36, 37, ..., 136
(n ชุดนี้ 11 จำนวน)
หลังจาก 37 จำมีเลขกำลังสองแค่ 5 จำนวน จนกว่าตัวสุดท้ายจะถึง 144
ดังนั้น n ถัดไปจึงเริ่มต้นที่ 44, 45, 46, ..., 144
n ที่เป็นไปได้ในชุดนี้คือ 44, 45, 46, 47, 48, 49 (ตัวสุดท้ายของชุด เท่ากับ 149)
มี 6 จำนวน
ถึงตรงนี้มี n 21 จำนวน
เลข กำลังสองจำนวนต่อไปคือ 169
69 ถึง 169 มี กำลังสอง 5 จำนวน
เลข กำลังสองจำนวนต่อไปคือ 196
96 ถึง 196 มี กำลังสอง 5 จำนวน
เลข กำลังสองจำนวนต่อไปคือ 225
125 ถึง 225 มี กำลังสอง 4 จำนวน
.
.
น่าจะหมดแล้ว
จึงตอบว่า มี n ทั้งหมด 21 จำนวน ด้วยประการฉะนี้แล
