ข้อ 1. สมการ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ จัดรูปจะได้ $$(x-n)(y-n)=n^2$$ หรือ $y = n+\frac{n^2}{x-n} ...(*)$
ถ้า $x, y$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $y > 0 \iff n+\frac{n^2}{x-n} \iff 1 + \frac{n}{x-n } > 0 \iff \frac{x}{x-n} > 0 \iff x > n$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $y > n$
จากสมการ (*) ถ้า $n^2$ มีตัวประกอบที่เป็นบวก $k$ ตัว แล้วจะได้ว่า เราสามารถเขียน $n^2 = a \times b$ ได้ $k$ แบบพอดี โดยที่ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยแต่ละแบบจะได้ $(x, y) = (n + a, n+b)$
จึงสรุปได้ว่า สมการ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ จะมีคำตอบ $(x, y)$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด เท่ากับ จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกของ $n^2$ นั่นเอง
จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกของ $2008^2$ หาเป็นนะครับ มีสูตรที่ชาวโลกเขาใช้กันอยู่
