[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

7.จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$

โจทย์น่าจะเป็น
$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{6}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$
หรือว่าจริงๆพจน์ที่$n$ ใน$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$.....จะเป็น$\dfrac{2n+1}{2^n}$

ผมว่าลุงBankerกำลังทำข้อ7...อยู่แน่เลย

ผมแปลง $\frac{2n+1}{2n}=1+\frac{1}{2n}$
จะได้อนุกรมจาก$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$ เป็น
$1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{4}+1+\frac{1}{8}+...+1+\frac{1}{2n}+...$
$=n+\left(\,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}\right) $
ผมหาผลรวมของ$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}$...ยังไม่ออก

ถ้าเป็น$a_n=\dfrac{2n+1}{2^n}$
$S=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2^n}$........(1)

$\frac{1}{2} S=\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+...+\frac{2n+1}{2^{n+1}}$........(2)

(1)-(2);$\frac{1}{2} S=\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}+\left(\,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right) $

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$

$\frac{1}{2} S=\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}+\left(\,1-\frac{1}{2^{n-1}}\right) $

$S=5-\left(\,\frac{2n+1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-2}}\right) $

$S=5-\frac{1}{2^n}\left(\,2n+5\right) $