[nooonuii]

ยังไม่ได้คิดข้อยากๆครับ
Logic and Proof and Inequality

1. Sketch of proof:

จะพิสูจน์ว่า $f(y)=f(0)$ ทุกค่า $y$
ถ้า $y>0$ ให้ $P=y,x=0$
ถ้า $y<0$ ให้ $P=-y,x=y$

2. Sketch of Proof :

$$7a+5b+12ab=7a+5b+4ab+8ab\leq 7a+5b+4ab + 6 - 9a^2-7b^2\leq 9$$
อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $2(a-b)^2 + 7(a-0.5)^2+5(b-0.5)^2\geq 0$

3. Sketch of Proof:

ใช้อสมการ AM-GM กับตัวแปร $a^2,b^2$
$$\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}=\frac{2}{(a^2+b^2)+2(a+1)}\leq\frac{1}{1+a+ab}$$
ดังนั้น $$LHS\leq \frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1$$

4. Sketch of Proof:

โดย Power mean inequality $$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}\geq\frac{a+b+c+d}{4}$$
โดย Maclaurin inequality
$$\frac{a+b+c+d}{4}\geq\sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}$$

5. Sketch of proof:

ใช้ AM-HM กับ $$a,b,\frac{c}{2},\frac{c}{2},\frac{d}{4},\frac{d}{4},\frac{d}{4},\frac{d}{4}$$

6. Sketch of proof:

ใช้อสมการโคชีได้
$$LHS\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{4(ab+bc+cd+da+ac+bd)}\geq \frac{2}{3}$$
อสมการสุดท้ายพิสูจน์จาก
$ab+bc+cd+da\leq a^2+b^2+c^2+d^2$ โดยอสมการโคชี
$2(ac+bd)\leq a^2+b^2+c^2+d^2$ โดยการจัดรูป