อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ
12.ให้ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่ซ้ำกัน โดยที่ $\frac{1}{m}+ \frac{1}{n}= \frac{2}{5} $ จงหาค่าของ$m+n$
|
โจทย์แนวนี้ใช้วิธีคิดเดียวกันได้หมดครับ เคยเอามาออกเป็นข้อสอบ Putnam เมื่อหลายสิบปีมาแล้ว
ข้อสอบนี้เป็นการแข่งขันชิงทุน Putnam ของนักศึกษาระดับปริญญาตรีในอเมริกาครับ
แต่ตอนนี้ข้อสอบลดระดับลงมาที่ระดับม.ต้นเท่านั้นเพราะเด็กเริ่มรู้เทคนิคการหาคำตอบกันเยอะขึ้น
ขออธิบายรูปทั่วไปให้ดูนะครับ เจอโจทย์รูปแบบนี้เมื่อไหร่ก็ใช้ได้ทันที
สมมติเรามีสมการในรูป
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{p}{q}$
จัดรูปโดยการคูณไขว้จะได้สมการ
$pmn=q(m+n)$
$p^2mn=pq(m+n)$
$(pm)(pn)=q(pm+pn)$
$(pm)(pn)-q(pm+pn)+q^2=q^2$
$(pm-q)(pn-q)=q^2$
จากตรงนี้ก็แยกกรณีโดยการพิจารณาตัวประกอบของ $q^2$
สำหรับข้อนี้จัดรูปแล้วจะได้
$(2m-5)(2n-5)=25$
เมื่อลองเช็คคำตอบตามเงื่อนไขโจทย์จะได้คำตอบคือ
$(m,n)=(3,15),(15,3)$ เท่านั้น