[กิตติ]

ยังไงวันนี้ก็เล่นเอามึนทั้งวันแล้วก็ขอรวมโจทย์ไว้ในกระทู้นี้จนหมดแล้วกัน....
Mathematical Olympiad 2009, young people in Asian cities
2.มีนักคณิตศาสตร์เข้ามาเยี่ยมชมชั้นเรียนของเด็กกิ๊ฟท์เตตชั้นหนึ่ง หัวหน้าชั้นรายงานว่า สองในสามของนักเรียนชั้นนี้ไปร่วมการแข่งขันเคมี,สามในสี่ไปร่วมการแข่งขันชีววิทยา,สี่ในห้าของนักเรียนไปแข่งฟิสิกส์และห้าในหกของนัก เรียนไปแข่งคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ท่านนี้กล่าวว่า"มีนักเรียนในชั้นนี้อย่างน้อย 12 คนที่ไปร่วมการแข่งขันทั้งสี่อย่าง"...จงหาว่านักเรียนชั้นนี้มีทั้งหมดกี่คน
3.กำหนดให้$x,y$และ$z$เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ$0$ โดยมีความสัมพันธ์กันตามสมการนี้
$x^2=yz$ และ $x^4=xy+yz+xz$
จงหาว่าค่า$x^2$มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับเท่าไหร่
4.กำหนดให้$x,y$และ$z$เป็นจำนวนจริง และ
$2^{x+y}=10$ , $2^{y+z}=20$ ,$2^{x+z}=30$
จงหาค่าของ$2^x$
5.มีสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ลูกหนึ่งต้องการทาสีแดงสองหน้า,ทาสีน้ำเงินอีกสองหน้าและทาสีเขียวอีกสองหน้า จงหาว่ามีจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการทาสีตามต้องการเท่ากับเท่าไหร่
6.มีจำนวนใดที่อยู่ระหว่าง$500$ถึง$1000$ที่มีคุณสมบัติตามที่กำหนดทั้งสามข้อนี้
1.หารด้วย$3$ และ$5$ลงตัว
2.ตัวเลขในแต่ละหลักเมื่อรวมกันแล้วได้เท่ากับ$15$
และ3.ตัวเลขในแต่ละหลักเมื่อนำมาคูณกันแล้วเป็นทวีคูณของ$48$(คือ หารด้วย48ลงตัว)
8.สามเหลี่ยม$ABC$มีด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 12 และ$D$เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน$BC$
$AE = 4 EC$ เมื่อลาก$ED$ออกไปจนตัดกับเส้นที่ลากต่อมาจาก$AB$ที่จุด$F$ จงหาความยาวของ$BF$

9.สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากับ$2+\sqrt{6} $ ด้านตรงข้ามมุมฉากเมื่อถูกแบ่งครึ่งด้วยเส้นผ่ากลาง(midline)จะมีความยาวเท่ากับ$1$ จงหาผลคูณของความยาวของสองด้านที่เหลือ
ข้ออัตนัย
2.$A,B,C,D,E$เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า$1000$โดยที่$E>A>B>C>D$และ$A+B+C-D=E$ จงหาค่าของ$A,B,C,D,E$
3.มีสี่เหลี่ยมคางหมู$ABCD$ที่มีด้าน$AD\parallel BC$ และภายในสี่เหลี่ยมนี้มีวงกลมแนบในอยู่ ถ้าเ้ส้นตรง$AB,BC,CD,DA$สัมผัสกับวงกลมแนบในที่จุด$K ,L,M ,N .$ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า$AK\times KB = CM \times MD $