[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

ข้อ 8 #1

มั่วๆมาเป็น $(x-5)^2-1^2=0$ ได้เลยไหมเนี่ย

ผมแปลงรูปเป็นสมการเป็น$(x-5)(x-a)=1$...แสดงว่า$x-5=1$และ$x-a=1$
$x=6$....นำค่า$x$ไปแทนลงใน$x-a=1 \rightarrow 6-a=1 \rightarrow a=5$
ที่จับมาแบบนี้เลยเพราะโจทย์บอกว่ามีรากสมการเป็นจำนวนเต็ม
จริงๆก็พอมีวิธีอื่นอีก
แปลงสมการมาเป็น$x^2-(a+5)x+(5a-1)=0$ แก้สมการได้ค่า
$x= \frac{(a+5) \pm \sqrt{(a+5)^2-4(5a-1)}}{2}$
ค่า$x$จะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มสองค่าเมื่อ $\sqrt{(a+5)^2-4(5a-1)}$ได้เป็นจำนวนเต็ม คือ $(a+5)^2-4(5a-1)$เป็นกำลังสองสมบูรณ์
$(a+5)^2-4(5a-1) =(a-5)^2+2^2=k^2$
ให้$a-5=k-m$,$k-n=2$ $\rightarrow k=2+n$ นำไปแทนค่าใน$a-5=k-m$.....กำลังจะหาดูว่าค่า$a$ที่สอดคล้องกับสมการนั้นมีค่าเดียวหรือไม่
ได้$a-5=n-m+2$ กำหนดให้$m,n$เป็นจำนวนเต็มจะได้ว่า
$(n-m+2)^2+2^2=(n+2)^2$.....เทียบกับปิธากอรัส เป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ $n+2$และสองด้านที่เหลือคือ$2$กับ$n-m+2$
จากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่ผลบวกของความยาวสองด้านใดๆต้องมากกว่าด้านที่เหลือเสมอ....จะได้ว่า
1.$n-m+2+2 > n+2 \rightarrow m<2$
2.$n-m+2+n+2 >2 \rightarrow n>\frac{m-2}{2} $
3.$n+2+2 > n-m+2 \rightarrow m> -2$
จะได้ขอบเขตของค่า$m$ คือ $-2<m<2$ ค่าของ$m$คือ $-1,0,1$
จาก...$(n-m+2)^2+2^2=(n+2)^2$ จัดรูปใหม่ได้เป็น
$m^2-2(n+2)m+4=0$
มีแต่ค่า$m,n$ที่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้นจึงจะทำให้ค่า$a$เป็นจำนวนเต็ม
แก้สมการได้ค่า$m=(n+2)\pm \sqrt{n^2+4n} $ เมื่อเอาค่า$m$จากที่หามาก่อนหน้านี้มาแทน ได้ค่า$n$ที่เป็นเศษส่วน จึงไม่มีค่า$m,n$ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้$(n-m+2)^2+2^2=(n+2)^2$....กลับมาพิจารณา$m=(n+2)\pm \sqrt{n^2+4n} $
พจน์$n^2+4n$เป็นพจน์ที่ไม่สามารถเขียนเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ ยกเว้นกรณีเดียวคือเมื่อ$n=0$ จะได้ค่าของ$m$เท่ากับ$2$
$(a-5)^2+2^2=k^2$ ,
$k=2+n=2+0=2$ ,
$a=5+k-m=5+2-2=5$
ดังนั้นได้ค่า$a$เพียงค่าเดียวที่ทำให้$(x-5)(x-a)=1$มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มสองค่า ค่า$a$เท่ากับ$5$