ดูหนึ่งข้อความ
  #2  
Old 07 มีนาคม 2012, 07:15
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

"ค่าย 1 ปี 2549"
อ้างอิง:
1.ก.$a,b\ge 0$ Prove $$a^3(b+1)+b^3(a+1)\ge a^2(b+b^2)+b^2(a+a^2)$$
$a^3+b^3\ge ab(a+b)\leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\ge 0$
$a^3b+b^3a\ge 2a^2b^2\leftrightarrow ab(a-b)^2\ge 0$
อ้างอิง:
1.ข.$ a,b,c>0,S=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1},a+b+c=1$ find max$S$
Cauchy's $$\sum_{cyc} \sqrt{3a+1}\le\sqrt{3}{3(a+b+c)+3}=3\sqrt{2}$$
สมการเกิดเมื่อ $a=b=c=1/3$
อ้างอิง:
2.ก.$a,b,c,d>0 ,a+b+c+d=1$ Prove $$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge \frac{1}{2}$$
Cauchy's $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a+b}\ge \frac{(a+b+c+d)^2}{2(a+b+c+d)}=\frac{1}{2}$$
อ้างอิง:
2.ข.$a,b,c>0$ $abc=1$ Prove $$\Big(1+\frac{a}{b}\Big)\Big(1+\frac{b}{c}\Big)\Big(1+\frac{c}{a}\Big)\ge 2(1+a+b+c)$$
$$\Big(1+\frac{a}{b}\Big)\Big(1+\frac{b}{c}\Big)\Big(1+\frac{c}{a}\Big)=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-1$$
จึงเหลือพิสูจน์ว่า $(a+b+c)(ab+bc+ca)-1\ge 2+2(a+b+c)\leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca-2)\ge 3$
เเละ $a+b+c\ge 3abc=3$
$ab+bc+ca\ge 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3\leftrightarrow ab+bc+ca-2\ge 1$
อ้างอิง:
4.$a,b,c,d>0$ Prove $$\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{b^3+c^3+d^3}{b+c+d}+\frac{c^3+d^3+a^3}{c+d+a}+\frac{d^3+a^3+b^3}{d+a+b}\ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$$
Cauchy's $$\sum_{cyc} \Big(\frac{a^4}{a^2+ab+ac}+\frac{b^4}{ab+b^2+bc}+\frac{c^4}{ac+bc+c^2}\Big)\ge \sum_{cyc} \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}\ge \frac{1}{3}\sum_{cyc} (a^2+b^2+c^2)$$
ซึ่ง $a^2+b^2+c^2+d^2\ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$ ทำให้อสมการเป็นจริงเมื่อ $a=b=c=d$
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้