ข้อ 16 งงครับ ประโยคมันอ่านเป็น ถ้า...ก็ต่อเมื่อ แต่คิดว่าพิมพ์ผิดน่าจะตัด ถ้า ทิ้งไปครับ
ข้อความนี้จริงบ้างไม่จริงบ้างครับ อยู่ที่ว่าเรากล่าวถึงเซตไหน เช่นถ้ากล่าวถึงลำดับในเซตของจำนวนตรรกยะก็จะไม่จริง แต่ถ้ากล่าวถึงลำดับในเซตของจำนวนจริงก็จะจริง คุณสมบัตินี้ใช้จำแนก metric space ได้ เราเรียก metric space ที่มีคุณสมบัตินี้ว่า complete metric space สำหรับการพิสูจน์ในเซตของจำนวนจริงนั้นจะพิสูจน์โดยกระบวนการคร่าวๆต่อไปนี้
1. Convergence Sequence $\Rightarrow$ Cauchy Sequence
- อันนี้จริงสำหรับ metric space ใดๆ
2. Cauchy Sequence $\Rightarrow$ Convergent Sequence
- พิสูจน์โดยการพิสูจน์ว่า Cauchy Sequence $\Rightarrow$ Bounded Sequence $\Rightarrow$ Convergent Subsequence (โดย Bolzano-Weierstrass Theorem) $\Rightarrow$ Convergent Sequence
ข้อ 17 เท็จ ยกตัวอย่างเช่น
$\displaystyle{ f_n(x) = \cases{0 & , \frac{1}{n}\leq x \leq 1 \cr 4n-4n^2x & , \frac{1}{2n}\leq x < \frac{1}{n} \cr 4n^2x & , 0\leq x < \frac{1}{2n} } }$
จะได้ว่า $f_n\to 0$ และ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx=1}$ แต่ $\displaystyle{\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)dx=0}$
ข้อความนี้จริงถ้า $f_n\to f$ uniformly ครับ
