[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$P(x)=x^3-ax^2+bx-c$ มี $(x-a)(x-b)(x-c)$ เป็นตัวประกอบ
จงหา $P(2)$

วิธีแรกใช้การกระจายวงเล็บสามวงเล็บจะได้ว่า
$(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc$
เทียบสัมประสิทธิ์
$a+b+c=a \rightarrow b+c=0\rightarrow b=-c$......(1)
$ab+bc+ac=b \rightarrow a(b+c)+bc=b \rightarrow bc-b=0$
$b(c-1)=0$
ดังนั้น $b=0$ หรือ $c=1$
กรณีที่ $b=0 \rightarrow c=0$
กรณีที่ $c=1 \rightarrow b=-1$
$abc=c \rightarrow c(ab-1)=0$
ดังนั้น $c=0$ หรือ $ab=1$
จาก $ab=1,b=-1\rightarrow a=-1$
เราจะได้ค่าที่สอดคล้องออกมาสองกรณีคือ
1.$c=0,b=0$
จะได้ว่า $p(x)=x^3-ax^2$
$a$ มีค่าเท่าไรก็ได้ โจทย์น่าจะกำหนดมาว่า $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์
2.$a=-1,b=-1,c=1$
จะได้ $p(x)=x^3+x^2-x-1$
$p(2)=8+4-2-1=9$

วิธีที่สองคือใช้เรื่องของพหุนาม
$p(a)=0=ab-c \rightarrow ab=c$
$p(b)=0=b^3-ab^2+b^2-c$
$b^3-ab^2+b^2-ab=0$
$b(b^2-(a-1)b-a)=0$
$b(b+1)(b-a)=0$
จะได้ $b=0,b=-1,a=b$
1.$b=0,c=0$
2.$b=-1,c=-a$
3.$a=b,b^2=c$
$p(c)=c^3-ac^2+bc-c=0$
$c(c^2-ac+b-1)=0 \rightarrow c=0,(c^2-ac+b-1)=0$
แทน $b=-1,c=-a \rightarrow 2a^2-2=0 \rightarrow a=\pm 1$
จะได้สมการ
1. $p(x)=x^3-x^2-x-1$
2.$p(x)=x^3+x^2-x+1$
แทน $a=b,b^2=c \rightarrow b^4-b^3+b-1=0$
$b^3(b-1)+(b-1)=0$
$(b-1)(b^3+1)=0$
$(b-1)(b+1)(b^2-b+1)=0$
$b=\pm 1,a=\pm 1,c=1$
ขอเช็คคำตอบจากวิธีของพหุนามก่อนครับ
แก้แบบพหุนามทำให้เกิดกรณีต่างๆขึ้นเกือบ 6กรณีซึ่งเมื่อทดสอบกลับด้วยการลองแทนค่าใน $p(x)$ เหลือเพียงกรณีเดียวที่เป็นคำตอบของสมการคือ $p(x)=x^3+x^2-x-1$ ดังนั้นวิธีที่สั้นที่สุดสำหรับข้อนี้คือการกระจายแล้วเทียบสัมประสิทธิ์ ไม่ขอเขียนทั้งหกกรณีเนื่องจากเปลืองเนื้อที่ครับ