[tngngoapm]

ข้อ5นะครับ วิธีสร้างสมการกำลังสามจากรากของสมการมีแนวทางดังนี้
ทฤษฎี
สมการกำลังสาม$x^3+b_1x+b_0=0$ที่มีรากสมการเป็นจำนวนจริงเพียง1ค่าอีก2ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนจะสามารถเขียนรากของสมการ(a)ได้เป็น
$a=p\sqrt[3]{\alpha }+p\sqrt[3]{\alpha^2 }$เมื่อ $p,\alpha$ เป็นจำนวนจริง
โดยความสัมพันธ์ระหว่าง $p,\alpha ,b_1,b_0$ มีดังนี้
$$\alpha ^2+(2+\frac{27b_0^2}{b_1^3} )\alpha +1=0..........(1)$$
$$p=\sqrt[3]{\frac{-b_0}{\alpha +\alpha ^2} }...........(2) $$

ข้อ5 $a=1+\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $ หรือ $a-1=\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $
แสดงว่า $p=1,\alpha =2$ แทนใน (2) ได้......$1=\sqrt[3]{\frac{-b_0}{2 +2^2} }$....ได้ $b_0=-6$
แทนใน (1) ได้..$2 ^2+(2+\frac{27(-6)^2}{b_1^3} )(2) +1=0$.......ได้ $b_1=-6$
แสดงว่า....$\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $เป็นรากของสมการ $a^3-6a-6=0$
หรือ$1+\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $เป็นรากของสมการ $(a-1)^3-6(a-1)-6=0$
เท่ากับ$a^3-3a^2-3a-1=0$

คำถามคือ
$a^3-\frac{39}{a} -\frac{12}{a^2} $เท่ากับเท่าไหร่เมื่อ $a=1+\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $
วิธีทำ
ให้ $a^3-\frac{39}{a} -\frac{12}{a^2}=c_1 $จัดรูปได้$a^5-c_1a^2-39a-12=0$
หรือ$a^5-c_1a^2-39a-12=(a^2+c_2a+12)(a^3-3a^2-3a-1)$
กระจายและเทียบสัมประสิทธิ์ได้ $c_2=3,c_1=46$