[FranceZii Siriseth]

เวลาทำข้อสอบ $3$ ชั่วโมง

$Logic$ $and$ $Proof$

1.ให้ $r\in \mathbb{Q}^+$ จงแสดงว่า $\exists x,y \in \mathbb{Q}^+$ $$ r=2x+3y$$

2.จงแสดงว่า $$ \left\{\frac{n}{2} \right\} = \frac{1-(-1)^{n}}{4}$$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ เมื่อ $ x=\left\lfloor\ x\right\rfloor +\left\{\ x\right\}$

3.กำหนดให้ $a_1=5, a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ จงแสดงว่า $$a_{n}=3^n+2^n$$

4.จงแสดงว่า $\sqrt{3}$ ไม่สามารถเขียนอยู่ในรูป $a+\sqrt{2}b$ เมื่อ $a,b\in \mathbb{Q} $

5.$f,g :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ และ $fog(x)=x^3$ จงแสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่น $1-1$ ก็ต่อเมื่อ $g$ เป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง

$Number$ $Theory$

1.จงแสดงว่า $12\mid 3*{5^n} + 2*{7^n}+7 $สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

2.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ มากมายเป็นอนันต์ ซึ่ง $10^{n}+1$ เป็นจำนวนประกอบ

3.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $n\mid p^6-1$ สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$

4.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $p\mid 2^{p^2}+1$

$Algebra$

1. ให้ $\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=2557$ จงหาค่าของ $$ (\frac{x}{y-z})^2 + (\frac{y}{z-x})^2 + (\frac{z}{x-y})^2 $$

2.$P(x)=x^4-59x^3+kx^2-2557x+2014$ ถ้าผลคูณราก $2$ ตัวของพหุนาม เท่ากับ $53$ จงหาค่า $k$

3.$P(x^3)+xQ(x^3)=x^2+x+1$ จงแสดงว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ *******โจทย์ผิด

$Combinatorics$

1. ผู้ชาย $8$ คน ผู้หญิง $6$ คน เรียง 8 คนหน้ากระดานโดยที่ผู้ชายไม่ติดกันได้กี่วิธี (เขียนคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)

2. มีแซนวิซ $6$ ชนิด ชนิดละ $10$ ชิ้นที่เหมือนกัน จงหาจำนวนวิธีในการเลือกแซนวิซ $20$ ชิ้น

3.ให้ $n$ เป็นจำนวนคี่ จงแสดงว่า $$\binom{n}{1} +\binom{n}{2}+...+\binom{n}{\frac{n-1}{2}} \ เป็นจำนวนคี่ $$

4. จงใช้เหตุผลเชิงการนับแสดงว่า $2^{2^n+1}[(2^n)!]^3$ หาร $(2^{n+2})!$ ลงตัว

$Geometry$

1.จงแสดงว่าเส้นตรงที่ลากปิดหัวท้ายของเส้นขนานที่ยาวเท่ากัน ย่อมขนานและยาวเท่ากัน

2.จงแสดงว่าสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3.จงแสดงว่าเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดๆหนึ่งและจุดนั้นแบ่งอัตราส่วนภายในเส้นมัธยฐานนับตั้งแต่จุดยอดเป็น $2:1$

4.จงแสดงว่า มุมที่เส้นสัมผัสทำกับคอร์ดมีขนาดเท่ากับมุมในส่วนโค้งที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

5.ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม $ABC$ เส้นแบ่งครึ่งมุม $A$ ตัด $BC$ ที่จุด $D$ ลากเส้นจากจุด $D$ ไปตั้งฉาก $AO$ ตัด $AC$ ที่จุด $P$ จงพิสูจน์ว่า $AB=AP$