ดูเหมือนห้องนี้จะมีหัวข้อน้อยที่สุดนะครับ
เพื่อให้ห้องนี้ไม่ดูร้างจนเกินไป ผมจึงนำบทความเก่าที่เคยเขียนไว้ในเสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ มาแยกส่วนเป็นหลายบทความ พร้อมกับแก้ไขข้อผิดพลาด วางไว้ในเว็บบอร์ดเพื่อให้สมาชิกทุกท่าน ได้ซักถามกันเองถึงข้อสงสัยต่างๆ
บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง อนุกรมฮาร์มอนิก
เคยเจอคำถามลักษณะนี้ไหมครับ
กำหนดให้
$\begin{array}{rcl}
x + y + z & = & 1 \\
x^2 + y^2 + z^2 & = & 2 \textrm{ และ } \\
x^3 + y^3 + z^3 & = & 3
\end{array}$
จงหาค่าของ $x^4 + y^4 + z^4$
หากใครมีพลังยุทธพอ น่าจะมองออกว่า
$x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + xz +yz)$
$x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2) - (xy + xz + yz)(x + y + z) + 3xyz$
$x^4 + y^4 + z^4 = (x + y + z)(x^3 + y^3 + z^3) - (xy + xz + yz)(x^2 + y^2 + z^2) + (xyz)(x + y + z)$
จากนั้นก็ไล่แทนค่า หาค่า $xy + xz + yz , xyz$ ออกมา เพื่อใช้หา $x^4 + y^4 + z^4$
แต่ถ้าโจทย์เขาถามถึง $x^{10} + y^{10} + z^{10}$ ละ ยังจะมีพลังยุทธพอที่จะกระจายเทอมต่างๆออกมาอีกไหม หากใครทำไม่ได้ หรือต้องการรู้รูปแบบการกระจายเทอมต่างๆออกมา บทความนี้ช่วยท่านได้
Newton's Relation
Newton's Relation หรือบางที่เรียกว่า Newton's Formula ดูจากชื่อคงรู้นะครับว่าใครเป็นคนคิด
เป็นความสัมพันธ์แสดงความเชื่อมโยงระหว่าง ฟังก์ชันสมมาตรของรากคำตอบของสมการพหุนามใดๆ $f(S_k,P_k)$
ต่อจากนี้ไปจะเป็นการอธิบายถึงความสัมพันธ์ต่างๆ หากใครไม่อยากอ่านที่มาละก็ ลองอ่านข้อกำหนดแล้วข้ามไปดูสรุปและตัวอย่างการใช้งานได้ครับ
กำหนดให้ $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n \in \mathbb{R}$
\[\begin{array}{rcl}
S_k & = & \textrm{ ผลรวมของผลคูณของ } a_k \textrm{ จำนวน } k \textrm{ เทอม } \\
& = & \sum {\underbrace{a_{\alpha} a_{\beta} a_{\gamma} \cdots}_{k\ \textrm{เทอม}}},\, \alpha \not= \beta \not= \gamma \not= \cdots \\
P_k & = & a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k
\end{array}\]
จากข้อกำหนดดังกล่าว จึงได้ $S_0 = 1$ และ $P_0 = n$
พิจารณา
\[\displaystyle{\begin{array}{rcl}
& & (1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x) \\
& = & 1 + (a_1+a_2+\cdots+a_n)x + (a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)x^2 + \cdots \\
& & + (a_1a_2\cdots a_n)x^n \\
& = & S_0 + S_1x + S_2x^2 + \cdots + S_nx^n
\end{array}}\]
และ
\[\displaystyle{\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}} \\
& = & (1 - a_1x + a_1^2x^2 - \cdots) + (1 - a_2x + a_2^2x^2 - \cdots) + \cdots \\
& & + (1 - a_nx + a_n^2x^2 - \cdots) \\
& = & P_0 - P_1x + P_2x^2 - P_3x^3 + \cdots
\end{array}}\]
จะพบว่า
\[\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\
& = & (n - P_1x + P_2x^2 - P_3x^3 + \cdots)(1 + S_1x + S_2x^2 + \cdots + S_nx^n) \\
& = & n + (nS_1-P_1)x + (nS_2-S_1P_1+P_2)x^2 +(nS_3-S_2P_1+S_1P_2-P_3)x^3 + \cdots \\
& & + (nS_n - S_{n-1}P_1 + S_{n-2}P_2 - \cdots + (-1)^n P_n)x^n
\end{array}\]
นอกจากนี้ เราอาจมองผลลัพธ์ได้อีกแบบ โดยลองคูณกระจาย
\[\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\
& = & [(1+a_2 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + [(1+a_1 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + \cdots \\
& & + [(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_{n-1} x)]
\end{array}\]
และสังเกตบางเทอมของ $x$ ยกตัวอย่างเช่น $a_1x$ จะพบว่ามีจำนวนเทอมที่ปรากฏเท่ากับจำนวนเทอมของ $a_2x$ และจะเท่ากับจำนวนเทอมที่ปรากฏของ $a_kx$ ใดๆด้วย ทำให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ สุดท้ายจริงๆมีค่าเป็น $m(a_1+a_2+\cdots+a_n)x = mS_1x$ หรือเป็นจำนวนเท่าที่เป็นจำนวนเต็มของ $S_1$ สิ่งนี้จะยังคงเป็นจริงสำหรับการสังเกตสัมประสิทธิ์ของ $x^k$ ใดๆด้วย(เพราะมันมีความสมมาตรปรากฏอยู่) และเราจะพบว่ามันมีจำนวนเทอมที่เท่ากันเป็นจำนวน $n-k$ เทอมเสมอ ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^k$ จึงเป็น $(n-k)S_k$ นั่นเอง นั่นคือ
\[\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\
& = & [(1+a_2 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + [(1+a_1 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + \cdots \\
& & + [(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_{n-1} x)] \\
& = & n + (n-1)S_1x + (n-2)S_2x^2 + \cdots + S_{n-1} x^{n-1}
\end{array}\]
โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้
\[\begin{array}{rcl}
nS_1 - P_1 & = & (n-1)S_1 \\
nS_2 - S_1P_1 + P_2 & = & (n-2)S_2 \\
nS_3 - S_2P_1 + S_1P_2 - P_3 & = & (n-3)S_3 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & \cdots & \cdots \cdots \cdots \\
nS_{n-1} - S_{n-2}P_1 + S_{n-3}P_2 - \cdots + (-1)^{n-1}P_{n-1} & = & (n - (n-1)) S_{n-1} \\
nS_n - S_{n-1}P_1 + S_{n-2}P_2 - \cdots + (-1)^n P_n & = & 0
\end{array}\]
หรือ
\[\begin{array}{rcl}
P_1 & = & S_1 \\
P_2 & = & S_1P_1 - 2 S_2 \\
P_3 & = & S_1P_2 - S_2P_1 + 3 S_3 \\
\cdots & \cdots & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
P_{n-1} & = & S_1P_{n-2} - S_2P_{n-3} + \cdots + (-1)^{(n-2) + 1}S_{n-2}P_{1} + (-1)^{(n-1) + 1}(n-1)S_{n-1} \\
P_n & = & S_1P_{n-1} - S_2P_{n-2} + \cdots + (-1)^{(n-1)+1}S_{n-1}P_{1} + (-1)^{n+1} n S_n
\end{array}\]
เป็น Newton's Relation ใช้ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดในการหาค่า $P_m$ หรือ $S_m$ เมื่อ $m \leqslant n$
สำหรับการหาค่า $P_m$ เมื่อ $m > n$ จะใช้เทคนิคดังนี้
เนื่องจาก $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n$ เป็นรากคำตอบของสมการ
$x^n - S_1x^{n-1} + S_2x^{n-2} - \cdots + (-1)^n S_n = 0$
คูณทั้งสองข้างด้วย $x^m$ จะได้
$x^{m+n} - S_1x^{m+n-1} + S_2x^{m+n-2} - \cdots + (-1)^n S_nx^m = 0$
แทนค่า $x$ ด้วย $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n$ แล้วจับมารวมกันทั้งหมด จะได้
$P_{m+n} - S_1P_{m+n-1} + S_2 P_{m+n-2} - \cdots + (-1)^nS_nP_m = 0$
นั่นคือ $P_{m+n} = S_1P_{m+n-1} - S_2 P_{m+n-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_m$ หรือเขียนในรูปทั่วไปเป็น $P_m = S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n}$ เมื่อ $m \geqslant n$
สรุป
$P_m = \begin{cases}
\left(\overbrace{S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{(m-1)+1}S_{m-1}P_{1}}^{m-1\ \textrm{เทอม}} \right) + (-1)^{m+1} m S_{m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\
\overbrace{S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n}}^{n\ \textrm{เทอม}} & \textrm{ เมื่อ }m > n
\end{cases}$
หรือ
\[P_m = \begin{cases}
\displaystyle{\sum_{i = 1}^{m - 1}(-1)^{i+1}S_i P_{m-i} + (-1)^{m+1} m S_m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\
\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i+1} S_i P_{m-i}} & \textrm{ เมื่อ }m > n
\end{cases}\]
ตัวอย่าง 1
ถ้า
$\begin{array}{rcl}
x + y + z & = & 1 \\
x^2 + y^2 + z^2 & = & 2 \textrm{ และ } \\
x^3 + y^3 + z^3 & = & 3
\end{array}$
จงหาค่าของ $x^4 + y^4 + z^4$
เนื่องจากมี $3$ ตัวแปร ดังนั้น $n = 3$ และจะพบว่า $P_1 = 1 , P_2 = 2 , P_3 = 3$
จากสูตรของ Newton จะได้
$P_1 = S_1 \therefore S_1 = 1$
$P_2 = S_1P_1 - 2S_2 = 1 - 2S_2 \therefore S_2 = -\frac{1}{2}$
$P_3 = S_1P_2 - S_2P_1 + 3S_3 = 2 + \frac{1}{2} +3S_3 \therefore S_3 = \frac{1}{6}$
$P_4 = S_1P_3 - S_2P_2 + S_3P_1 = 3 + 1 + \frac{1}{6} \therefore P_4 = \frac{25}{6}$
จึงได้ $x^4 + y^4 + z^4 = \frac{25}{6}$
ตัวอย่าง 2
กำหนด $a, b, c$ เป็นจำนวนจริงและ $a , b , c \not= 0$
ถ้า $a + b + c = 0$ และ $a^5 + b^5 + c^5 = a^3 + b^3 + c^3$
จงหาค่าของ $a^2 + b^2 +c^2$
เนื่องจากมี $3$ ตัวแปร ดังนั้น $n = 3$ และเนื่องจาก $a + b + c = 0$ หรือ $P_1 = S_1 = 0$ จะได้
$\begin{array}{rcl}
P_1 & = & S_1 = 0 \\
P_2 & = & S_1P_1 - 2S_2 = -2S_2 \therefore S_2 = -\frac{1}{2}P_2 \\
P_3 & = & S_1P_2 - S_2P_1 + 3S_3 = 3S_3 \therefore S_3 = \frac{1}{3}P_3 \\
P_4 & = & S_1P_3 - S_2P_2 + S_3P_1 = \frac{1}{2}P_2^2 \\
P_5 & = & S_1P_4 - S_2P_3 + S_3P_2 = \frac{1}{2}P_2P_3 + \frac{1}{3}P_2P_3 = \frac{5}{6}P_2P_3 \\
\text{หรือ}\ a^5 + b^5 + c^5 & = & \frac{5}{6} \left(a^2 + b^2 + c^2\right) \left(a^3 + b^3 + c^3\right) \\
\therefore a^2 + b^2 + c^2 & = & \frac{6}{5} \frac{a^5 + b^5 + c^5}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{6}{5}
\end{array}$
แบบฝึกหัดประยุกต์- จงหาค่า $x_1^5 + x_2^5$ เมื่อ $x_1 , x_2$ เป็นรากคำตอบของสมการ $x^2 + x - 19 = 0$
-1901
เนื่องจาก $x_1 , x_2$ เป็นรากคำตอบของสมการ $x^2 + x - 19 = 0$
แสดงว่า $x_1 + x_2 = -1$ และ $x_1 x_2 = -19$
ดังนั้น เมื่อใช้ Newton's Relation จึงได้ $n = 2 , S_1 = P_1 = -1 , S_2 = -19$
$\begin{array}{rclclcl}
P_2 & = & S_1 P_1 - 2 S_2 & = & 1 - 2 (-19) & = & 39\\
P_3 & = & S_1 P_2 - S_2 P_1 & = & -39 -19 & = & -58 \\
P_4 & = & S_1 P_3 - S_2 P_2 & = & 58 - (-19)(39) & = & 799 \\
P_5 & = & S_1 P_4 - S_2 P_3 & = & -799 - (-19)(-58) & = & -1901 \\
\therefore x_1^5 + x_2^5 & = & -1901 & & & & \end{array}$
- จงหาค่า $a \in \mathbb{R}$ ทั้งหมด ซึ่งทำให้ $(x_1 - 3)^3 + (x_2 - 3)^3 + (x_3 - 3)^3 = 0$ โดยที่ $x_1 , x_2 , x_3$ เป็นรากคำตอบของสมการ $x^3 - 6x^2 + ax +a = 0$
$a = -9$
เนื่องจาก $x_1 , x_2 , x_3$ เป็นรากคำตอบของสมการ $x^3 - 6x^2 + ax +a = 0$
แสดงว่า $x_1 + x_2 + x_3 = 6 , x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = a$ และ $x_1 x_2 x_3 = -a$
ดังนั้น เมื่อใช้ Newton's Relation จึงได้ $n = 3 , S_1 = P_1 = 6 , S_2 = a , S_3 = -a$
$\begin{array}{cl}
\because & (x_1 - 3)^3 + (x_2 - 3)^3 + (x_3 - 3)^3 \\
= & (x_1^3 + x_2^3 + x_2^3) - 3 (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) (3) +3 (x_1+ x_2 + x_3) (3^2) - 3(3^3) \\
= & P_3 - 9 P_2 + 27 P_1 - 81
\end{array}$
และเนื่องจาก
$\begin{array}{rcl}
P_2 & = & S_1 P_1 - 2S_2 = 6(6) - 2a = 36 - 2a \\
P_3 & = & S_1 P_2 - S_2 P_1 + 3 S_3 = 6 (36 - 2a) - 6a -3a = 216 - 21a
\end{array}$
$\therefore P_3 - 9 P_2 + 27 P_1 - 81 = 216 - 21a - 9 (36 - 2a) + 27 (6) - 81 = -3a - 27$
นั่นคือ $(x_1 - 3)^3 + (x_2 - 3)^3 + (x_3 - 3)^3 = -3a - 27 = 0$ จึงได้ $a = -9$
- จงหาพหนุามกำลังสอง ที่มีรากคำตอบเป็น $x_1 , x_2$ และรากคำตอบทั้งสองนั้นทำให้ $x_1 + x_2 = 1$ และ $x_1^5 + x_2^5 = 31$
$x^2 - x - 2$ และ $x^2 - x + 3$
สมมติให้พหุนามกำลังสองคือ $x^2 + ux + v$ ดังนั้น $u = -1$
เมื่อใช้ Newton's Relation จึงได้ $n = 2 , S_1 = P_1 = 1 , P_5 = 31 , S_2 = v$
$\begin{array}{rcl}
P_2 & = & S_1 P_1 - 2 S_2 = 1 - 2v \\
P_3 & = & S_1 P_2 - S_2 P_1 = 1 - 2v - v = 1 - 3v \\
P_4 & = & S_1 P_3 - S_2 P_2 = 1 - 3v - v (1 - 2v) = 2v^2 -4v + 1 \\
P_5 & = & S_1 P_4 - S_2 P_3 = 2v^2 -4v + 1 - v (1 - 3v) = 5v^2 -5v + 1
\end{array}$
$\because P_5 = 31\ \therefore 5v^2 -5v + 1 = 31$ หรือ $v^2 -v - 6 = 0$ จะได้ $v = -2 , 3$
ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่ได้คือ $x^2 - x - 2$ และ $x^2 - x + 3$
ข้อสังเกต: ด้วยเทคนิคนี้ทำให้เราสามารถคำตอบบางส่วนของระบบสมการแนวนี้ได้
$\begin{array}{rcl}
x + y & = & 1 \\
x^5 + y^5 & = & 31
\end{array}$