$0<x\geq1$?
ฝั่งซ้าย ชัดเจนโดย AM-GM
ฝั่งขวา กระจาย ได้ว่าจะต้องพิสูจน์
$2+2nx^{n+1}\leq 2(n+1)x^n+n(n+1)(1-x)^2$
หาก $n=1$ ได้ว่าอสมการเป็นสมการ
ต่อไป หาก $n\geq 2$
ให้ $P(x)=2+2nx^{n+1}-(2(n+1)x^n+n(n+1)(1-x)^2)$ ได้ว่าต้องแสดงว่า $P(x)\leq 0$
ได้ว่า $P'(x)=2n(n+1)(x-1)^2(x^{n-2}+x^{n-3}+...+1)\geq0;\forall x\in\mathbb{R}^{+}$
ดังนั้น $P(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $(0,1]$ นั่นคือ $P(x)\leq P(1)=0$ ตามต้องการ
|