อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Terry Tao
คลายเครียดครับ มีP,Qเป็นพหุนามที่ดีกรีมากกว่า1ซึ่ง$P(Q(x))=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-15)$ หรือไม่
|
มี solution นึงสวยดีครับ
WLOG ให้ $Q$ เป็น monic จะได้ $P$ เป็น monic ด้วย
ก่อนอื่นจะได้ $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ หรือ $\deg [P(x)]=5,\deg [Q(x)]=3$
กรณี $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ $\quad 1,2,...,15$ เป็นคำตอบของ $P(Q(x))=0$
แต่สมการ $P(x)=0$ มีคำตอบได้อย่างมาก $3$ คำตอบ สมมติคำตอบเหล่านั้นคือ $a,b,c$
ต่อมาสมการ $Q(x)=a,Q(x)=b,Q(x)=c$ มีคำตอบได้อย่างมากสมการละ $5$ คำตอบ
แต่เราทราบว่าสามสมการนี้ต้องมีคำตอบรวมกัน $15$ คำตอบ จึงทำให้แต่ละสมการมี $5$ คำตอบพอดี
เราจึงได้ระบบสมการต่อไปนี้
$Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_5)+a$
$Q(x)=(x-r_6)(x-r_7)\cdots (x-r_{10})+b$
$Q(x)=(x-r_{11})(x-r_{12})\cdots (x-r_{15})+c$
เมื่อ $r_1,r_2,...,r_{15}$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ $1,2,...,15$
ดังนั้นโดยผลบวกราก $r_1+r_2+\cdots+r_5=r_6+r_7+\cdots+r_{10}=r_{11}+r_{12}+\cdots+r_{15}$
และ
$\displaystyle \sum_{1\le i < j \le 5} r_ir_j=\sum_{6\le i < j \le {10}} r_ir_j=\sum_{{11}\le i < j \le {15}} r_ir_j$
จะได้ $r^2_1+r^2_2+\cdots+r^2_5=r^2_6+r^2_7+\cdots+r^2_{10}=r^2_{11}+r^2_{12}+\cdots+r^2_{15} = \dfrac{1}{3}(1^2+2^2+\cdots+15^2) = \dfrac{1240}{3}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง
อีกกรณีนึงสามารถทำเช่นเดียวกัน แต่จะมาเปลี่ยนตรงท้ายจะกลายเป็น
$r_1+r_2+r_3=r_4+r_5+r_6=\cdots=r_{13}+r_{14}+r_{15}=24$
$r^2_1+r^2_2+r^2_3=r^2_4+r^2_5+r^2_6=\cdots=r^2_{13}+r^2_{14}+r^2_{15}=248$
WLOG $r_1=15$ จะได้ $r_2 \ge 5$ หรือ $r_3 \ge 5$ ทำให้ $r_1^2+r_2^2+r_3^2 > 248$ เกิดข้อขัดแย้ง
ปล.1 อย่าพึ่งรีบ hint สิครับ
ปล.2 อาจารย์ในค่ายค่อนข้างชอบอสมการที่มีค่ากึ่งกลางนะ
ไว้ว่างๆจะหาโจทย์มาให้น้องในค่ายทำเหมือนกัน แต่ช่วงนี้ก็ไม่ค่อยได้ทำโจทย์ละครับ