อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania
4.) ให้ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b โดยที่ $\frac{1}{2555}<ax+b<\frac{1}{2012}$
(TMO9 #10 / Special Case of Kronecker's Theorem) |
โดยส่วนตัวผมว่าข้อนี้ยากนะครับ
ให้ สร้างรังนกดังนี้ รังที่ $i$ คือ [$\frac{i-1}{2555*2012}$,$\frac{i}{2555*2012}$] โดยที่ $i=1,2,3,...,2012*2555$ จาก $x$ เป็นจน.อตรรกยะให้ {$ax+b$} เป็นนกอนันต์ตัวซึ่งชัดเจนว่าเป็นอตรรกยะ จึงไม่มีนกที่อยู่ $2$ รัง
ซึ่งมีนกอยู่เป็นอนันต์ตัวและมีรัง 2012*2555 รัง จึงมีอย่างน้อย $1$ รัง ที่มีนกอย่างน้อย $2$ ตัว ให้ $a_kx+b_k,a_jx+b_j$ เป็นนก $2$ ตัว ดังนั้น ให้ $a_0 = a_k - a_j$ และ $b_0 = b_k - b_j$
ได้มี $a_0x+b_0 < c+\frac{1}{2012*2555}$ ดังนั้นมี $a_1=a_0$ และ $b_1=b_0-c$ ที่ $a_1x+b_1 < \frac{1}{2012*2555}$
ให้ $g=a_1x+b_1$ ให้ $\left\lceil\,\frac{1}{2554g}\right\rceil = m$ ดังนั้น $mg \geqslant \frac{1}{2554} > \frac{1}{2555}$
และ $mg $ $\leqslant g(\frac{1}{2554g} + 1)$$ = \frac{1}{2554} +g < \frac{1}{2554} + \frac{1}{2555*2012} < \frac{2013}{2554*2012} < \frac{2554}{2554*2012} < \frac{1}{2012} $
ดังนั้นจึงมี $a,b$ ที่สอดคล้องกับที่โจทย์ต้องการ