[R-Tummykung de Lamar]

จากค่าสูงสุดของ $\sin x + \cos x$ คือ $\sqrt 2$
พิสูจน์ ให้ค่าสูงสุดคือ $y$
$$\sin x + \cos x\leq y$$
คูณตลอดด้วย $\sin 45^\circ =\cos 45 ^\circ =\frac{\sqrt{2}}2 >0$
$$\sin x \cos45^\circ + \cos x \sin 45^\circ \leq \frac{\sqrt 2}{2}y$$
$$\sin(x+45^\circ ) \leq \frac{\sqrt 2}{2}y$$
ซึ่งค่าสูงสุดของ $\sin$ คือ $1$ นั่นคือ $\frac{\sqrt 2}{2}y=1$
$\therefore y\ =\ \sqrt 2$
เกิดเมื่อ $x\ =\ 45^\circ + 360n^\circ ,n\in I$


กลับมาที่โจทย์จะได้ว่าที่ส่วนเป็นบวกเสมอ นั่นคือ $(\sin x-\frac12)(\sin x+\frac12)>0$
จะได้ $\sin x \in [-1,-\frac 12)\cup(\frac 12,1]$
นั่นคือ $x \in(30^\circ +180n^\circ ,150^\circ +180n^\circ ) ,n\in I$