[กิตติ]

ตอนที่3ข้อ2
$\frac{x}{x+1}-ax\leqslant 1\rightarrow \frac{x}{x+1}-(ax+1)\leqslant 0$

$x(x+1)-(ax+1)(x+1)^2 \leqslant 0$

$x^2+x-\left\{\,(ax+1)(x^2+2x+1)\right\}\leqslant 0 $

$x^2+x-\left\{\,ax^3+(2a+1)x^2+(a+2)x+1\right\}\leqslant 0 $

$-ax^3-2ax^2-(a+1)x-1\leqslant 0$

$ax^3+2ax^2+(a+1)x+1 \geqslant 0$

$(x+1)(ax^2+ax+1)\geqslant 0$

เมื่อ$x>-1\rightarrow x+1>0$

อสมการนี้จะเป็นจริงเมื่อ$ax^2+ax+1\geqslant 0$

$ax^2+ax+1\geqslant 0$ เมื่อเราเขียนให้อยู่ในรูปของกำลังสองสมบูรณ์ได้
สมมุติให้เป็น$(mx+c)^2=m^2x+2mcx+c^2$
$c=1 ,m^2=a,2m=a \rightarrow m^2=2m$
$m(m-2)=0 \rightarrow m=0,2$
$a=4$
$c=-1,a=-2m,m^2=a \rightarrow m^2=-2m$
$m(m+2)=0 \rightarrow m=0,-2$
$a=4$
ยังมีอีกกรณีหนึ่งที่ยังคิดไม่ออกคือเขียน$ax^2+ax+1=(mx+c)^2+d$ เมื่อ$d>0$ แต่ผมคิดว่าไม่จำเป็นเพราะ$(mx+c)^2+d>0$ ไม่คลุมกรณีที่ต้องการค่าเท่ากับศูนย์ และถ้าจะเขียนเป็น$ax^2+ax+1=(mx+c)^2-d$ มีโอกาสเกิด$(mx+c)^2+d=0$ แต่อาจทำให้ค่า$(mx+c)^2+d$น้อยกว่าศูนย์ได้ ยังคิดไม่ออกเรื่องการเขียนออกมาแบบนี้