[nooonuii]

ทฤษฎีที่ผมใช้มีอยู่ว่า

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน convex polytope และ $f$ เป็นฟังก์ชันนูนในทุกตัวแปรแล้วจุด

ที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจะอยู่ที่จุดมุม

----------------------------------------------------------------------------

ทฤษฎีบทนี้ถ้าใครได้เรียนกำหนดการเชิงเส้นก็คงพอจะรู้จัก ที่เรากล่าวว่า

ปัญหากำหนดการเชิงเส้นจะมีค่าสูงสุดต่ำสุดอยู่ที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่เกิดจากเงื่อนไขบังคับ

ข้อความนี้ก็คือการประยุกต์ทฤษฎีบทนี้โดยตรงครับ เพราะฟังก์ชันเชิงเส้นมันเป็นฟังก์ชันนูนในทุกตัวแปร

ส่วนเงื่อนไขบังคับถ้านำมาสร้างเซตก็จะได้ convex polytope

-----------------------------------------------------------------------------

convex polytope คือ เซตที่เกิดจากการตัดกันของอสมการของระนาบ

ถ้าเป็นหลายมิติเราจะเรียกระนาบเหล่านี้ว่า hyperplane

ระนาบพวกนี้แท้จริงแล้วมันก็คือสมการเส้นตรงที่เรารู้จักนั่นเองครับ

-----------------------------------------------------------------------------

สำหรับโจทย์ข้อนี้ เซต $[1,2]\times [1,2]\times [1,2]$ มันเป็น convex polytope อยู่แล้วล่ะครับ

เพราะมันคือรูปลูกบาศก์ที่เรารู้จักนั่นเอง ถ้าจะให้เขียนเป็นอสมการระนาบมันก็คืออาณาบริเวณที่เกิดจากการตัดกันของอสมการระนาบ

$x\geq 1$

$x\leq 2$

$y\geq 1$

$y\leq 2$

$z\geq 1$

$z\leq 2$

ในสามมิตินั่นเอง

ตัวฟังก์ชันก็เช็คได้ไม่ยากว่าเป็นฟังก์ชันนูน

ดังนั้นค่าสูงสุดต่ำสุดจะเกิดที่จุดมุมเท่านั้น ซึ่งก็เหมือนที่น้อง owlpenguin แสดงให้ดูนั่นแหละครับ