คลายร้อนกับโจทย์กันครับ
1.ให้ $ABC$ มีจุด $P$ อยู่ในสามเหลี่ยม $ABC$ และ $I$ เป็น incenter ของสามเหลี่ยม $ABC$ ที่
$$P\hat B A+P\hat C A=P\hat B C+P\hat C B$$
จงแสดงว่า $AP \geqslant AI$
2.สุ่มระบายสีจุดในระนาบด้วยสี $3$ สีคือ สีแดง สีดำ และสีฟ้า
จงแสดงว่า จะมีจุด $3$ จุดที่มีสีเดียวกันและประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่
$$\frac{2013^{2013}\times 2556^{2556}}{2} $$ ตารางเดคาเมตร
3.มีจำนวนนับ $n$ หรือไม่ที่
$1.)$ $n|2^n+1$
$2.)$ $n$ มีจำนวนตัวประกอบ
เฉพาะ ทั้งหมด 25 ตัว
พอดี
4.จงแสดงว่ามี$f:R\rightarrow R$ เป็นอนันต์ที่
$1.)$ $f$ เป็นฟังก์ชั่นไม่ต่อเนี่อง
$2.)$ สมการดังต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ $$f(f(x)+f(y)+f(x+y))=2[f(f(x))+f(f(y))+f(f(x+y))]^2$$
5.ให้ $P[x]$ เป็นพหุนามบนจำนวนจริงที่รากทุกตัวเป็นจำนวนจริง
จงพิสูจน์ว่า
$$P(x)P''(x)\leqslant [P'(x)]^2$$
สำหับทุกจำนวนจริง $x$ โดยนิยาม $P'(x)$ คืออนุพันธ์ของพหุนาม $P(x)$
6.Prove or disprove that
$$\frac{x_1}{x_2+x_3} +\frac{x_2}{x_3+x_4} +...+\frac{x_{2554}}{x_{2555}+x_{2556}} +\frac{x_{2555}}{x_{2556}+x_1}+\frac{x_{2556}}{x_1+x_2}\geqslant \frac{2556}{2} $$
hold for all non-negative numbers $x_1,x_2,...,x_{2556}$
ปล.วิชาไหนยาก/ง่ายไปก็ขอโทษด้วยครับ
ผมจัดโจทย์ไม่ค่อยดีเท่าไหร่ครับ