สวัสดีครับพี่ Char Aznable เนื่องด้วยประสบการณ์และความรู้ของผมยังมีน้อยเลยยังไม่สามารถทำข้อนี้สำหรับค่า $e$ ได้
แต่ถ้าเปลี่ยน $e$ เป็น $\frac {1 + \sqrt {2} + \sqrt {2\sqrt {2} - 1}}{2} + \frac {1}{\sqrt {\sqrt {2} + \sqrt {2\sqrt {2} - 1}}}$
ละก็ผมสามารถคิดได้แล้วนะครับโดยที่ไม่จำเป็นจะต้องมีเงื่อนไข $x,y,z$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม
เพราะว่า (เอาวิธีคิดของเขามาอีกที ก็ Credit เขาเลยนะครับ)
อ้างอิง:
|
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ hungkhtn
Applying CID (Cyclic inequality oF degree 3) theorem, we can let $c = 0$ in the inequality. It becomes
\[
x^3 + y^3 + cx^2y\ge (c + 1) xy^2.
\]
Thus, we have to find the minimal value of
\[
f(y) = \frac {y^3 - y^2 + 1}{y^2 - y} = y + \frac {1}{y(y - 1)}
\]
when $y > 1$. It is easy to find that
\[
f'(y) = 0 \Leftrightarrow 2y - 1 = (y(y - 1))^2 \Leftrightarrow y^4 - 2y^3 + y^2 - 2y + 1 = 0.
\]
Solving this symmetric equation gives us:
\[
y + \frac {1}{y} = 1 + \sqrt {2} \Rightarrow y = \frac {1 + \sqrt {2} + \sqrt {2\sqrt {2} - 1}}{2}
\]
Thus we found the best value of $C$ is
\[
y + \frac {1}{y(y - 1)} = \frac {1 + \sqrt {2} + \sqrt {2\sqrt {2} - 1}}{2} + \frac {1}{\sqrt {\sqrt {2} + \sqrt {2\sqrt {2} - 1}}}\approx 2.4844
\]
|
แล้วหลังจากนั้นก็ใช้ AM-GM กับ Rearrangement กับอสมการที่เหลือก็ไม่ยากอะไรแล้วหล่ะคับ
แต่ในที่นี้ พี่ Char Aznable คงเพิ่มเงื่อนไขและทำให้อสมการ Strong ขึ้น... ซึ่งตอนนี้ผมยังคิดไม่ได้เลย
ขอคำแนะนำด้วยนะครับ
